Вопрос об h в корзине

[Munin]

type2b в сообщении #1104702 писал(а):

Вы путаете теорию в Евклиде и в Минковском. В Евклиде, действительно, решениями уравнений Янга-Миллса, убывающими нужным образом на бесконечности, являются инстантоны и антиинстантоны.

type2b в сообщении #1104702 писал(а):

В Минковском же уравнения гиперболические (или как там это правильно у математиков называется? короче, типа волнового уравнения). И в абелевой, и в неабелевой теории у них есть решения, ведущие себя на бесконечности как плоские волны. Только в неабелевой теории эти решения трудно находить, для этого надо отсуммировать древесные диаграммы.

Поясните, пожалуйста. Я так понимал, что в неабелевой теории, к "волновым решениям" (без топологического заряда) добавляются инстантоны (с топологическим зарядом), в том числе и в Минковском (после виковского поворота евклидовой теории и её решения).

Что такое минковский инстантон? У меня "на пальцах" получилось так. Евклидов инстантон - это (топологически нетривиальное) поле, сосредоточенное около начала координат. После "виковского поворота обратно", получается поле, сосредоточенное вокруг нулевого интервала - то есть, вокруг сходящегося и затем расходящегося светового конуса.

И что? Разве в минковской неабелевой теории нет таких решений? (Дополнительных к малым волнам, то есть без топологического заряда.) Мне кажется, ситуация вполне схожа с теорией солитонов, где в уравнениях типа KdV или sin-G бегают малые волны, и дополнительно к ним - солитоны, которые по ним принципиально не раскладываются, живут в другой части спектра. Здесь части спектра нумеруются топологическим зарядом решения.

-- 07.03.2016 15:21:52 --

amon в сообщении #1104709 писал(а):

Могу ошибаться, (в дальнейшем следует считать, что все фразы начинаются с этого утверждения) но есть три возможных толкования символа $Z=\int {\mathcal{D}\varphi} e^{-S/\hbar}$: символ ряда теории возмущений, символ квазиклассического ("перевального") разложения и символ результата численного счета с целью получения премии за решение проблемы конфайнманта. При этом ни кто не доказал, что результаты таких вычислений совпадут.

Мне казалось, что первое и второе - вещи совпадающие, по крайней мере, на каких-то достаточно хорошо изученных теориях. Возмущения строятся от классической траектории, и перевал рассматривается вокруг неё же. Может быть, речь о том, что перевал учитывает один первый член разложения, а ТВ идёт на несколько порядков?

amon в сообщении #1104709 писал(а):

Тем не менее, ни кто не мешает сосчитать по перевалу интеграл $Z=\int {\mathcal{D}A}\exp(-\frac{1}{g^{2}}\int_{\mathbb{R}^{4}}\operatorname{Tr} F^{2})$ и назвать это квазиклассическим решением.

По перевалу вокруг какой точки?

-- 07.03.2016 15:26:49 --

Blancke_K в сообщении #1104805 писал(а):

Для меня это означает, что подход Ландау-Лифшица, основанный на принципе соответствия, не работает.

Ну, этим вы, как бы, не Америку открываете.

[type2b]

Blancke_K, я вынужден еще раз указать на Вашу ошибку. Уравнения Янга-Миллса в сигнатуре Минковского имеют точно такие же решения с волновой асимптотикой, как и уравнения Максвелла. (Только волны взаимодействуют, поэтому в явном виде такое решение не напишешь.) Вы утверждали, что в теории Янга-Миллса, в отличие от абелевой теории, мы не высаживаемся на классические решения, потому что с ними что-то не в порядке. Нет, с ними всё в порядке. Мы не высаживаемся на них по другим причинам. Ваша ссылка на формулу (13.27) с предложением искать условный экстремум -- ошибка.

Конечно, можно продолжать решения из Минковского в Евклид и обратно. Только в Евклиде волны станут экспоненциально расходиться. А в Минковском инстантоны станут невещественными. Поэтому роль этих решений разная. Воспринимать инстантоны надо как в квантовой механике, как комплексные седловые точки с конечным действием. А решения с волновой асимптотикой -- полный аналог таких же решений для уравнений Максвелла.

Blancke_K в сообщении #1104805 писал(а):

Что же, давайте руками наложим условие $A\neq0$. Тогда надо честно искать "седловую точку" и даётся она пространством решений уравнений Максвелла.

Это бессмыслица. Обычные решения Максвелла в Евклиде и так есть. Просто они экспоненциально расходятся на бесконечности, как и любая волна в Евклидовой сигнатуре. И накладывать условие $A\ne 0$ руками бессмысленно. Попробуйте найти минимум функции $f=x^2$ с условием $x\ne 0$.

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

Вводя загадочное обозначение $F^{\pm}_{BPST}$, запишем 2-форму кривизны:

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

Ясно, что $F$ удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса и $c_{2}=n-m$, однако инстантоном очевидно не является, а значит согласно моей постановке задачи на условный экстремум и не живёт в пространстве абсолютных минимумов функционала $S$.

Переменной является $A$, а не $F$. Поэтому, во-первых, надо найти $A$ с такой кривизной. А во-вторых, полученное $A$ не обязано удовлетворять $D\star F=0$, и не будет. Уравнения нелинейны и нельзя получать решения суперпозицией.

Munin в сообщении #1104836 писал(а):

Поясните, пожалуйста. Я так понимал, что в неабелевой теории, к "волновым решениям" (без топологического заряда) добавляются инстантоны (с топологическим зарядом), в том числе и в Минковском (после виковского поворота евклидовой теории и её решения).

Всё правильно, только инстантон в Минковском не будет вещественным решением, и должен пониматься, как комплексная седловая точка, как траектория туннелирования в квантовой механике. Он также не является частицей (он размерности ноль, а не один), в этом отличие от тех солитонов, которые Вы упомянули. Соответственно, спектр не будет нумероваться топологическим зарядом. На самом деле, с точки зрения спектра наличие инстантонов означает, что есть superselection sectors, labeled by the $\theta$ angle. Из-за наличия больших калибровочных преобразований пространство полей по модулю преобразований неодносвязно. Поэтому волновая функция на пространстве полей при обходе по циклу может иметь фазу, как в случае с частицей на окружности в магнитном поле, которую мы недавно обсуждали. Эта фаза -- тета-угол, в этом его гамильтонов смысл. См. Индурайн парагр. 45.

[Munin]

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Всё правильно, только инстантон в Минковском не будет вещественным решением, и должен пониматься, как комплексная седловая точка, как траектория туннелирования в квантовой механике.

А, вот оно что.

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Он также не является частицей (он размерности ноль, а не один), в этом отличие от тех солитонов, которые Вы упомянули.

Ну, на это мне в некоторой степени наплевать. Обычные солитоны фурьят только по пространственным переменным, Янга-Миллса и тому подобные уравнения - по всем пространственно-временным, так что тут всё-таки есть аналогия.

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Соответственно, спектр не будет нумероваться топологическим зарядом. На самом деле, с точки зрения спектра наличие инстантонов означает, что есть superselection sectors, labeled by the $\theta$ angle.

А кто такой $\theta$? Инстантоны-то нумеруются топ. зарядом. Кстати, не объясните ли мне

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

?

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Поэтому волновая функция на пространстве полей при обходе по циклу может иметь фазу, как в случае с частицей на окружности в магнитном поле, которую мы недавно обсуждали.

Видимо, я толком не запомнил...

-- 07.03.2016 21:04:19 --

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Конечно, можно продолжать решения из Минковского в Евклид и обратно. Только в Евклиде волны станут экспоненциально расходиться. А в Минковском инстантоны станут невещественными. Поэтому роль этих решений разная. Воспринимать инстантоны надо как в квантовой механике, как комплексные седловые точки с конечным действием. А решения с волновой асимптотикой -- полный аналог таких же решений для уравнений Максвелла.

Хорошо, допустим. Но экспериментальный факт, что решениями с волновой асимптотикой квазиклассические решения Янга-Миллса не исчерпываются. Появляются ещё "глюонные мешки", как минимум.

[Blancke_K]

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

Вводя загадочное обозначение $F^{\pm}_{BPST}$, запишем 2-форму кривизны:

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

Ясно, что $F$ удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса и $c_{2}=n-m$, однако инстантоном очевидно не является, а значит согласно моей постановке задачи на условный экстремум и не живёт в пространстве абсолютных минимумов функционала $S$.

Переменной является $A$, а не $F$. Поэтому, во-первых, надо найти $A$ с такой кривизной. А во-вторых, полученное $A$ не обязано удовлетворять $D\star F=0$, и не будет. Уравнения нелинейны и нельзя получать решения суперпозицией.

Ничего не понимаю. Ну и зачем мне так делать в режиме слабой связи?
Я прекрасно понимаю, что в квантовом Янге-Миллсе суперпозиции нет и такая вещь удовлетворять классическим уравнениям не будет. Ей и незачем этого делать.

type2b в сообщении #1104865 писал(а):

Blancke_K, я вынужден еще раз указать на Вашу ошибку. Уравнения Янга-Миллса в сигнатуре Минковского имеют точно такие же решения с волновой асимптотикой, как и уравнения Максвелла. (Только волны взаимодействуют, поэтому в явном виде такое решение не напишешь.) Вы утверждали, что в теории Янга-Миллса, в отличие от абелевой теории, мы не высаживаемся на классические решения, потому что с ними что-то не в порядке. Нет, с ними всё в порядке. Мы не высаживаемся на них по другим причинам. Ваша ссылка на формулу (13.27) с предложением искать условный экстремум -- ошибка.

Я ничего не удтверждал о том, что мы не высаживаемся на классические решения. Я говорил вполне ясно, что высаживаемся мы на инстантоны, которые являются маленьким подпространством всего пространства решений уравнений Янга-Миллса. И про то, что они интерпретируются как процессы туннелирования, я тоже сказал.
Ну и что, что Вам не нравится моя ссылка на формулу (13,27)? Вы говорите какие-то слова про какие-то волны. А я считаю, что инстантоны - это квазиклассика теории Янга-Миллса и поэтому придаю $c_{2}$ фундаментальное значение. И многие люди со мной согласятся. А седловая точка функционального интеграла разбирается в любой книжке по этой теме. В частности, обращается внимание на то, что $S\geqslant8\pi^{2}k$.

-- 07.03.2016, 23:48 --

По поводу режима слабой свзи: пересмотрел на всякий случай формулы из книги Рубакова. Действие я записал также, как в формуле (4.33). Из формулы между (4.35) и (4.36) видно, что член с коммутатором второго порядка по $g$. Поэтому, все нормально.

[type2b]

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

Вводя загадочное обозначение $F^{\pm}_{BPST}$, запишем 2-форму кривизны:

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

Ясно, что $F$ удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса

vs

Blancke_K в сообщении #1104937 писал(а):

Я прекрасно понимаю, что в квантовом Янге-Миллсе суперпозиции нет и такая вещь удовлетворять классическим уравнениям не будет

Так будет или не будет она удовлетворять уравнениям Янга-Миллса?

Blancke_K в сообщении #1104937 писал(а):

Я ничего не удтверждал о том, что мы не высаживаемся на классические решения. Я говорил вполне ясно, что высаживаемся мы на инстантоны, которые являются маленьким подпространством всего пространства решений уравнений Янга-Миллса. И про то, что они интерпретируются как процессы туннелирования, я тоже сказал.
Ну и что, что Вам не нравится моя ссылка на формулу (13,27)? Вы говорите какие-то слова про какие-то волны. А я считаю, что инстантоны - это квазиклассика теории Янга-Миллса и поэтому придаю $c_{2}$ фундаментальное значение.

Мне не нравится Ваша ссылка на формулу (13.27), потому что она была приведена в составе неверного утверждения. Вы пытались указать, в чем заключается отличие от квазиклассики КЭД, и делали это неверно.

[Blancke_K]

type2b в сообщении #1104945 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

Вводя загадочное обозначение $F^{\pm}_{BPST}$, запишем 2-форму кривизны:

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

Ясно, что $F$ удовлетворяет уравнениям Янга-Миллса

vs

Blancke_K в сообщении #1104937 писал(а):

Я прекрасно понимаю, что в квантовом Янге-Миллсе суперпозиции нет и такая вещь удовлетворять классическим уравнениям не будет

Так будет или не будет она удовлетворять уравнениям Янга-Миллса?

В квазиклассике несомненно будет.

-- 08.03.2016, 00:00 --

type2b в сообщении #1104945 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1104937 писал(а):

Я ничего не удтверждал о том, что мы не высаживаемся на классические решения. Я говорил вполне ясно, что высаживаемся мы на инстантоны, которые являются маленьким подпространством всего пространства решений уравнений Янга-Миллса. И про то, что они интерпретируются как процессы туннелирования, я тоже сказал.
Ну и что, что Вам не нравится моя ссылка на формулу (13,27)? Вы говорите какие-то слова про какие-то волны. А я считаю, что инстантоны - это квазиклассика теории Янга-Миллса и поэтому придаю $c_{2}$ фундаментальное значение.

Мне не нравится Ваша ссылка на формулу (13.27), потому что она была приведена в составе неверного утверждения. Вы пытались указать, в чем заключается отличие от квазиклассики КЭД, и делали это неверно.

Объясните Вашу точку зрения если Вы знаете что-то более интересное. Только не на пальцах. Пока я услышал только то, что в КЭД мы садимся на нулевое решение и это тоже неверно.

[type2b]

Я объясню свою точку зрения, только Вы прежде признайте, пожалуйста, что решения уравнений Максвелла в абелевой теории, к которым мы привыкли, имеют полные аналоги и в неабелевой теории.

Blancke_K в сообщении #1104947 писал(а):

В квазиклассике несомненно будет.

Напишите, пожалуйста, явно те уравнения, которым удовлетворяет $n$ БПШТ инстантонов и $m$ антиинстантонов, сидящих друг на друге. А также напишите, пожалуйста, ту связность, которая имеет кривизну

Blancke_K в сообщении #1104816 писал(а):

$F=n F^{+}_{BPST}+m F^{-}_{BPST}$ (3)

[Blancke_K]

type2b
Я понимаю, чего Вы хотите добиться, поэтому писать никаких формул не буду. Я уже довольно много их написал. Я скажу, что в теории со слабой связью ($g^{2}\rightarrow 0$) согласно формулам из книжки Рубакова, на которые я сослался, все коммутаторы изчезают, потому что они второго порядка по $g$. Теория в режиме слабой связи эффективно является абелевой и принцип суперпозиции в ней верен. Я считаю, что думать таким образом дает определенные преимущества.

[type2b]

Blancke_K в сообщении #1104955 писал(а):

Теория в режиме слабой связи эффективно является абелевой и принцип суперпозиции в ней верен. Я считаю, что думать таким образом дает определенные преимущества.

А также при этом исчезают инстантоны, поэтому формула для $F$, написанная Вами, не является решением чего-либо.

Blancke_K в сообщении #1104955 писал(а):

Я понимаю, чего Вы хотите добиться, поэтому писать никаких формул не буду.

Вот и отличненько. Мне это вытягивание из Вас признаний под пытками тоже поднадоело. Тему предлагаю закрыть.

[Blancke_K]

type2b в сообщении #1104959 писал(а):

Blancke_K в сообщении #1104955 писал(а):

Теория в режиме слабой связи эффективно является абелевой и принцип суперпозиции в ней верен. Я считаю, что думать таким образом дает определенные преимущества.

А также при этом исчезают инстантоны

Нет, чепуха. Не исчезают. Как было их $4Nk$, так и осталось. Инстантонный заряд про $g$ вообще ничего не знает.
Однако ничего не мешает мне сказать, что в пределе $g^{2}\rightarrow 0$ инстантоны не взаимодействуют друг с другом. "Эффективно абелевая" если хотите означает то, что $[A,A]=0$, поскольку второго порядка по $g$. При этом никто не говорит, что группа $G$ редуцируется до абелевой подгруппы. В чистом янге-миллсе такого механизма в принципе нет или неизвестно на данный момент.

[type2b]

В тех обозначениях, где константа связи $g$ стоит внутри ковариантной производной, а не перед действием, поле инстантона пропорционально $1/g$. (Потому что в другой нормировке, где $g$ стоит перед действием, оно в уравнения не входит, а перескалирование от одной нормировки к другой как раз осуществляется домножением поля на $1/g$.) Поэтому при $g\rightarrow 0$ поле стремится к бесконечности и решение пропадает. Действительно, так и должно быть, т.к. абелева теория не имеет гладких инстантонных решений.

Слабо взаимодействуют инстантоны, которые находятся друг от друга на расстоянии, много большем их размеров. При этом, т.к. константа $g$ в удобной нормировке стоит просто перед действием, то при $g\rightarrow 0$ их энергия взаимодействия (точнее, действие на суперпозиции минус сумма действий на отдельных инстантонах) скейлится так же, как и их действие, т.е. $\sim 1/g^2$.

Инстантоны, сидящие друг на друге, никогда не взаимодействуют слабо. Поэтому решение, написанное Вами, не является решением чего-либо ни в каком пределе.

Наша беседа выглядит так. Вы не желаете признавать ошибок, не желаете думать, а когда я объясняю, что именно у Вас неправильно, Вы в ответ сыпете еще десяток неправильных или туманно сформулированных утверждений. Эта благотворительность мне надоела. На этом наша дискуссия закончена.

[Pphantom]

type2b в сообщении #1104969 писал(а):

Наша беседа выглядит так. Вы не желаете признавать ошибок, не желаете думать, а когда я объясняю, что именно у Вас неправильно, Вы в ответ сыпете еще десяток неправильных или туманно сформулированных утверждений. Эта благотворительность мне надоела. На этом наша дискуссия закончена.

Хотелось бы увидеть оценку и других участников темы: physicsworks, Cos(x-pi/2) и amon.

[amon]

Тот случай, когда надо высказаться.
Я не специалист в калибровочных теориях, и, вообще, в HEP. Посему - взгляд с высоты (верхоглядство).
- Декларированное утверждение ($\hbar$ не квант действия) и то, что под ним понималось уважаемым Blancke_K - как говорят в Одессе, две большие разницы. Утверждение, о которое ломались копья - "решение, на которое садится ФИ при квазиклассическом разложении некоторых полевых теорий не изучают в инженерных ВУЗах" (нет в природе, если цитировать точно). С таким утверждением нужно соглашаться, но оно ни как не затрагивает первого (может, договорить не дали...). Так что Blancke_K свою точку зрения не доказал, но уточнил. В уточненном виде это оказалась вещь известная
- Дальнейшая дискуссия, на мой взгляд, - обычная перепалка между специалистами (в разной степени, но специалистами) по КХД о наличии и смысле решений классических уравнений Янга-Милса. Тут мне квалификации не хватает, но вспоминается спор на семинаре ЛИЯФа между В.Н.Грибовым и А.Б. Мигдалом, закончившийся фразой Грибова: "Ну, если ты и такой ерунды не понимаешь, то мне с неучами разговаривать не о чем". Так, что, IMHO, такое окончание споров в HEP - дело традиционное. Остынут, может еще чем забавным поделятся. Тему я бы не закрывал.

[Cos(x-pi/2)]

Поскольку в начале топика неразобравшись я заявил, что "класс теорий", упомянутый Blancke_K, следует отправить в корзину, то теперь должен признать: я был неправ.

Помочь детальному обсуждению решений в неабелевых КТП не могу, у меня не хватает знаний. Сожалею, что я вообще что-то "мяукнул" в этой теме; просто "повёлся" на терминологию Blancke_K, и вот о ней добавлю всё-таки ещё пару слов. Высказывая странное (на мой взгляд) предположение о нефундаментальности $\hbar,$ Blancke_K говорил загадками: вместо того чтобы сразу назвать неабелевы КТП, он упоминал "КМ", "стандартные учебные курсы", мол там чего-то "недоговаривают", будто сомнительно, что можно ввести $\hbar$ в КМ, а потом ещё и "подход Ландау-Лифшица, основанный на принципе соответствия" будто не работает.

Но ведь книга ЛЛ-3, если её понимать под "учебным курсом по КМ", начинается с обсуждения электронов и с очевидностью ориентирована на то, чтобы дать знания в первую очередь об атомах, молекулах. В ЛЛ-4 изложена КЭД; функционального интеграла у ЛЛ нет. В книге Фейнмана "КМ и интегралы по траекториям" - тоже механика атомных систем, и кратко о КЭД. Из оглавлений явствует, что в этих учебниках не может быть речи о неабелевых калибровочных полях. Имхо, претензия типа в учебных курсах не по неабелевым КТП чего-то "не договаривается" о неабелевых КТП - абсолютно нелепая.

Blancke_K в сообщении #1104528 писал(а):

выбросим теорию или придём к выводу, что не всегда стоит верить учебным пособиям?

КТП не выбросим. А насчёт "верить учебным пособиям" ответ известный: наука это не религия. В текст учебника надо не "верить", а вдумываться - о чём там речь, и надо стремиться понять контекст авторов, а не зубрить учебник как универсальную молитву на все случаи жизни.

Blancke_K в сообщении #1104559 писал(а):

Нету глюонов, путешествующих по вселенной со скоростью света. Нечем обосновывать, потому что классические уравнения движения невозможно проверить в эксперименте. Нельзя, скажем, измерить классическую мощность излучения как в КЭД. Поэтому те, кто хотят понимать что-то в этой теории, должны отказаться от того, что написано у Ландау.

Последнее предложение не следует из предыдущих; и оно ошибочное: для понимания чего-либо в КХД не нужно отказываться от знания элементарной квантовой механики, изложенной в курсе ЛЛ.

Поскольку теперь я вроде понял, что постоянной Планка в любимой мной обычной КМ ничего не угрожает (так что размер атома имею право по-прежнему оценивать формулой Бора из стандартного курса $\hbar^2/(me^2)$ и затем сравнивать его, например, с метровой палкой), то уже без страха, а с большим интересом хотел бы узнать о дальнейших размышлениях специалистов по КТП насчёт роли $\hbar$ в мире непертурбативных полевых конфигураций (в частности: чем там определяется шкала длин, каковы типичные размеры решений с нетривиальной конфигурацией, как их сравнить с размером атома (или с чем тогда?) если окажется, что в мире неабелевых калибровочных полей нету $\hbar$).

[physicsworks]

То, что заявил автор в первом посте, им доказано не было. На его ошибки быстро и четко указал type2b, за что ему спасибо, ибо мне потребовалось кое-какое время наедине с книгой Рубкова, чтобы понять в чем ересь. Pphantom сам решит, закрывать тему или нет. Но я бы попросил ТС в дальнейшем обсуждать подобное в "дискуссионных темах", а не разбрасываться такими "горящими спичками" в учебном разделе.