2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 электростатика проводники
Сообщение28.02.2016, 19:04 
Аватара пользователя


26/11/14
761
Доброго всем времени суток. Уважаемые проверьте плз решение, никак не пойму где ошибаюсь. Не сходится с ответом. В 2-х задачниках ответы одинаковые, а у меня нет. Что-то мне подсказывает, что ошибка у меня. Задача: Между двумя заземленными металлическими пластинами находится такая же по размерам тонкая пластина с поверхностной плотностью заряда $ \sigma $. Расстояния $ a $ и $ b $ много меньше линейных размеров пластин. Найти поверхностную плотность зарядов на верхней и нижней пластинах: $ \sigma_1, \sigma_2 $ и напряженности полей $ E_1, E_2 $ соответственно.

Изображение

$ \left\{
\begin{array}{rcl}
E_a=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\
  \\
E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2)  \\
  \\
\sigma_1+\sigma_2+\sigma=0 \\
\varphi - \varphi_1 = E_a \cdot a  \\
\varphi - \varphi_2 = E_b \cdot b \\
\end{array}
\right. $

Вычитая из 5-го уравнения 4-е, получим,т.к $ \varphi_1=\varphi_2=0  $:

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
E_a=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\
\\
E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2)\\
\\
E_a = \frac{E_b \cdot b}{a} \\
\\
\sigma_1 + \sigma + \sigma_2 =0 \\
\end{array}
\right.$$,

подставим 3-е в 1-е уравнение:

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 E_b=\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\
\\
E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2)\\
\\
\sigma_1 + \sigma + \sigma_2 = 0\\
\end{array}
\right.$$
приравняем 1-е и 2-е (правые части) и приведем подобные:

$\left\{
\begin{array}{rcl}
(b-a)\sigma + (a+b)\sigma_2 = (a+b)\sigma_1 \\
\sigma_1 = - \sigma - \sigma_2 \\
\end{array}
\right.$,

подставим 2-е в 1-е и получим:

$ \sigma_1 = -\sigma \frac{a}{a+b}, \sigma_2 = -\sigma \frac{b}{a+b} $.

Ответ в задачниках: $ \sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b}, \sigma_2 = -\sigma  \frac{a}{a+b} $.

Проверял несколько раз, результат тот же, видимо делаю что-то не правильно. Подскажите плз где мой прокол. Всем заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.02.2016, 19:07 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите формулы вместо картинки (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение28.02.2016, 23:17 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 00:26 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Проверьте знаки, в самом начале, в формулах для напряженностей

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 03:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я бы на вашем месте подставлял изначальное третье в первое и второе. А если слегка подумать, то то же самое можно просто и на пальцах написать. Раз система снаружи окружена замкнутыми проводниками, да ещё и заземлёнными, то снаружи неё поле нуль... и понеслась.

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 11:37 
Аватара пользователя


26/11/14
761
AnatolyBa в сообщении #1102977 писал(а):
Проверьте знаки, в самом начале, в формулах для напряженностей
Я видимо не верно понимаю правило расстановки знаков в этих формулах, знаки сигм выбираю так:
1. в верхнем полупространстве:
- вектор напряженности от средней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от нижней пластины НЕ совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен в противоположную сторону от $ E_a $, поэтому беру: $ - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}  $

2. в нижнем полупространстве аналогично:
- вектор напряженности от средней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от верхней пластины НЕ совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен в противоположную сторону от $ E_b $ поэтому беру: $ - \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от нижней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен так же как и $ E_b $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0}  $

Где моя ошибка, подскажите плз?

Munin в сообщении #1102991 писал(а):
Раз система снаружи окружена замкнутыми проводниками, да ещё и заземлёнными, то снаружи неё поле нуль... и понеслась.

Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю? Но все равно со знаками надо разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 12:00 
Заслуженный участник


29/11/11
4390
Мне кажется, что "много меньше" подразумевает, что не должны расстояния иметь значения для поля, как и при бесконечных пластинах. Тогда в силу симметрии на заземленных пластинах $-\sigma/2$ и соответственно равные по модулю поля в двух зазорах, а от расстояний зависит только потенциал пластины

ps. хотя не, вру, так же не сойдется потенциал посчитанный через то и другое поля. ну тогда поля обратно пропорциональны расстояниям и отсюда плотности которые бы такие поля создали

Stensen в сообщении #1103027 писал(а):
Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю? Но все равно со знаками надо разобраться.


Так вы в вашей системе это и так уже учли, заявив сумму плотностей нулевой

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 12:14 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Stensen
Как то вы усложняете. Если внимательно посмотреть на конфигурацию, можно почти сразу записать, во-первых, соотношение между напряженностями, во-вторых сумму напряженностей, и т. д.
Но и в вашем общем методе есть свои резоны - он будет работать в более сложных случаях.
Но если метод общий - так уж общий. Когда вы пишете $\sigma+\sigma_1+\sigma_2=0$ вы берете заряд вместе со знаком, поэтому здесь
Stensen в сообщении #1103027 писал(а):
вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $

вы учитываете знак два раза - на один раз больше, чем нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 13:17 
Аватара пользователя


26/11/14
761
AnatolyBa в сообщении #1103038 писал(а):
Stensen
Когда вы пишете $\sigma+\sigma_1+\sigma_2=0$ вы берете заряд вместе со знаком, поэтому здесь
Stensen в сообщении #1103027 писал(а):
вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $
вы учитываете знак два раза - на один раз больше, чем нужно
В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов. Если заранее нельзя определить знак заряда (не в этом случае), то как нужно написать выражение для $ E_a $?

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 13:28 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Stensen в сообщении #1103060 писал(а):
В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов.

Знаки зарядов нужно определить так же, как и в формуле для суммы. У вас сейчас в формулах для полей знаки обратные.

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 13:56 
Аватара пользователя


26/11/14
761
DimaM в сообщении #1103063 писал(а):
Stensen в сообщении #1103060 писал(а):
В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов.

Знаки зарядов нужно определить так же, как и в формуле для суммы. У вас сейчас в формулах для полей знаки обратные.
Т.е я должен написать:

$ E_a = + \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2) $

$ E_b = + \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) $

Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 14:19 
Заслуженный участник


28/12/12
7906
Stensen в сообщении #1103072 писал(а):
Так?

Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 15:37 
Аватара пользователя


26/11/14
761
Уважаемые, я сформулировал правило расстановки знаков зарядов на проводящих пластинах "многопластинчатого" конденсатора, проверьте плз :

1. условно выбираем произвольные "положительные" направления вектора напряженности электрополя между соседними пластинами
2. знаки зарядов на пластинах выбираем такие же как и в теореме Гаусса, (т.е. все: $ + \sigma_i $)
3. в уравнениях напряженности поля, между пластинами, знаки зарядов выбираем по принципу: если вектор поля, создаваемого данным зарядом, сонаправлен с условно выбранным "положительным" направлением поля между рассматриваемыми пластинами, то перед этим членом ставим "+", если не совпадает, "минус".

Все ли верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: электростатика проводники
Сообщение29.02.2016, 15:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Stensen в сообщении #1103027 писал(а):
Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю?

Намёк ещё проще. Если "за спиной" пластины поле нуль, то поле перед ней - создано только зарядом на самой пластине (без двоечки в знаменателе). Я ж говорю, на пальцах посчитать можно.

-- 29.02.2016 15:42:03 --

(Ещё можно представить мысленно график потенциала от координаты. Тут уж совсем всё станет элементарно.)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group