2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 20:34 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Как называется функция от $\alpha$, равная $\int\limits_0^\infty\frac{x^\alpha dx}{e^x-1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 20:41 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ivvan
Отдельно никак. Этот интеграл с помощью определения полилогарифма $\[{\rm{L}}{{\rm{i}}_\nu }(z) = \frac{1}{{\Gamma (\nu )}}\int\limits_0^\infty  {\frac{{{\xi ^{\nu  - 1}}}}{{{z^{ - 1}}{e^\xi } - 1}}} \]$ можно привести к произведению гамма функции на дзета-функцию
$$\[\int\limits_0^\infty  {\frac{{{x^\alpha }}}{{{e^x} - 1}}} dx = \Gamma (\alpha  + 1){\rm{L}}{{\rm{i}}_{\alpha  + 1}}(1) = \Gamma (\alpha  + 1)\zeta (\alpha  + 1)\]$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 21:29 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
А $\int\limits_0^\beta\frac{x^\alpha dx}{e^x-1}$ нельзя выразить аналогичным образом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 22:06 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ivvan
В общем случае трудно сказать. Идея следующая - сделать замену переменных $\[\xi  = {e^x}\]$, тогда $\[\int\limits_0^\beta  {\frac{{{x^\alpha }}}{{{e^x} - 1}}dx}  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^\alpha }\xi }}{{\xi (\xi  - 1)}}d\xi }  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^\alpha }\xi }}{{\xi  - 1}}d\xi }  - \frac{{{\beta ^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\]$
Вот тут если $\[\alpha \]$ будет натуральным числом, то первый интеграл можно представить в виде конечного многочлена (степени $\[\alpha \]$) по степеням $\[\beta \]$ (в коэффициентах его будут полилогарифмы), однако если оно не будет натуральным, то тут сложно сказать... Через ряд наверное ответ можно записать, но толку то... А вам собственно для чего это нужно? Если у вас физическая задача (интегралы типа Бозе), то наверно можно кучу упрощений напридумывать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 22:33 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Ms-dos4 в сообщении #1100857 писал(а):
$\[\int\limits_0^\beta  {\frac{{{x^\alpha }}}{{{e^x} - 1}}dx}  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^\alpha }\xi }}{{\xi (\xi  - 1)}}d\xi }  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^\alpha }\xi }}{{\xi  - 1}}d\xi }  - \frac{{{\beta ^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\]$
Не пойму последнее равенство. Там взятие по частям?
Ms-dos4 в сообщении #1100857 писал(а):
А вам собственно для чего это нужно?
Встретил табличку значений этих 2 функций (для второй $\alpha=3$), надеялся узнать об свойствах, в первую очередь откуда берутся их значения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 22:56 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ivvan
1)Я просто разложил на простые дроби, второй интеграл берётся легко и я сразу записал его значение
2)Так что бы составить таблицу не нужно аналитически интегрировать (хотя в случае натуральных $\[\alpha \]$, как я говорил выше, это и можно выразить через спецфункции). Можно же просто взять да численно вычислить то, что нужно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение20.02.2016, 23:42 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Ms-dos4 в сообщении #1100857 писал(а):
первый интеграл можно представить в виде конечного многочлена (степени $\[\alpha \]$) по степеням $\[\beta \]$ (в коэффициентах его будут полилогарифмы)
А это тоже как-то легко получается?

Нашёл всё-таки эти функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение21.02.2016, 00:09 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
ivvan
Да, достаточно легко. Первый раз берём по частям $\[\int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^\alpha }\xi }}{{\xi  - 1}}d\xi }  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {{{\ln }^\alpha }\xi d(\ln (1 - \xi ))}  = \ln (1 - {e^\beta }){\beta ^\alpha } - \alpha \int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^{\alpha  - 1}}\xi  \cdot \ln (1 - \xi )}}{\xi }} d\xi \]$
А теперь заметим, что $\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _1}(\xi ) =  - \ln (1 - \xi )\]$, ну и $\[{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _{n + 1}}(z) = \int {\frac{{{{{\mathop{\rm Li}\nolimits} }_n}(z)}}{z}} dz\]$. Дальнейшие интегрирования по частям элементарны $\[\int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^{\alpha  - 1}}\xi  \cdot {{{\mathop{\rm Li}\nolimits} }_1}(\xi )}}{\xi }} d\xi  = \int\limits_1^{{e^\beta }} {{{\ln }^{\alpha  - 1}}\xi } d({{\mathop{\rm Li}\nolimits} _2}(\xi )) = {{\mathop{\rm Li}\nolimits} _2}({e^\beta }){\beta ^{\alpha  - 1}} - (\alpha  - 1)\int\limits_1^{{e^\beta }} {\frac{{{{\ln }^{\alpha  - 2}}\xi  \cdot {{{\mathop{\rm Li}\nolimits} }_2}(\xi )}}{\xi }} d\xi \]$. Ну и так до победного в случае натурального $\[\alpha \]$. В частности, для $\[\alpha  = 3\]$ окончательный ответ такой
$\[\int\limits_0^\beta  {\frac{{{x^3}}}{{{e^x} - 1}}dx}  =  - \frac{{{\beta ^4}}}{4} + {\beta ^3}\ln (1 - {e^\beta }) + 3{\beta ^2}{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _2}({e^\beta }) - 6\beta {{\mathop{\rm Li}\nolimits} _3}({e^\beta }) + 6{{\mathop{\rm Li}\nolimits} _4}({e^\beta }) - \Gamma (4)\zeta (4)\]$
В этом выражении правда есть загвоздка - если у нас $\[{e^\beta } > 1\]$ то логарифм и полилогарифмы будут комплексные, но при конечном подсчете все мнимые части должны сократиться, по идее (можно кстати было использовать замену $\[\xi  = {e^{ - x}}\]$ в начале что бы этого избежать, но там будет сложнее с интегрированием)
P.S.Да, спасибо за ссылку. Ну как я и говорил, видимо в самом общем случае ничего кроме рядов нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Специальная функция
Сообщение21.02.2016, 19:11 
Заблокирован по собственному желанию


09/08/13

207
Ms-dos4 в сообщении #1100890 писал(а):
можно кстати было использовать замену $\[\xi  = {e^{ - x}}\]$ в начале что бы этого избежать, но там будет сложнее с интегрированием
Получилось$$\int\limits_0^\beta\frac{x^3dx}{e^x-1}=\int\limits_0^\beta\frac{x^3de^{-x}}{e^{-x}-1}=(-1)^3\int\limits_{e^{-\beta}}^1\frac{\ln^3\xi d\xi}{1-\xi}=0-(-\beta^3\ln(1-e^{-\beta}))-(-1)^3\int\limits_{e^{-\beta}}^1-2\frac{\ln^2\xi\ln(1-\xi)d\xi}{\xi}=$$ $$=\beta^3\ln(1-e^{-\beta})+3(-\beta^2\text{Li}_2e^{-\beta}-(-1)^2\int\limits_{e^{-\beta}}^12\frac{\ln\xi\text{Li}_2\xi d\xi}{\xi})=\beta^3\ln(1-e^{-\beta})+3(-\beta^2\text{Li}_2e^{-\beta}+2(-\beta\text{Li}_3e^{-\beta}-(-1)\int\limits_{e^{-\beta}}^1\frac{\text{Li}_3\xi d\xi}{\xi}))=$$ $$=\beta^3\ln(1-e^{-\beta})+3(-\beta^2\text{Li}_2e^{-\beta}+2(-\beta\text{Li}_3e^{-\beta}+\zeta(4)-\text{Li}_4e^{-\beta}))=\beta^3\ln(1-e^{-\beta})-3\beta^2\text{Li}_2e^{-\beta}-6\beta\text{Li}_3e^{-\beta}-6\text{Li}_4e^{-\beta}+6\zeta(4)$$, что сходится по значениям, хотя лучше считать, видимо, через ряд. Спасибо, я разобрался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group