Квазилинейная система

[harati]

Доброго времени суток ! Столкнулся с вроде бы простой системой уравнений, но почему-то не могу решить. То ли система не так проста, то ли кризис идей.

$\frac{A}{x-y}=\frac{B}{z-x}=\frac{C}{z-y}=x+y+z$, относительно ${x,y,z}$

[DeBill]

harati

Если выразить 3 Ваши разности через сумму всех чисел, и сложить полученное, то получится 0.
Так что необходимым условием разрешимости системы является условие $A+B+C=0$. Однако, при его выполнении, решений будет бесконечно много: уравнений останется 2, а неизвестных 3....

[Red_Herring]

Я ошибся (со сна)

[svv]

harati, обозначьте
$\begin{array}{l}x-y=a\\ z-x=b\\ x+y+z=p\end{array}$
Система из этих трёх уравнений однозначно разрешима относительно $x, y, z$ при любых $a, b, p$, поэтому перепишите исходную систему через новые переменные, а про старые забудьте:
$a\neq 0,\; b\neq 0$
$pa=A$
$pb=B$
$p(a+b)=A+B=C$

[harati]

svv в сообщении #1097243 писал(а):

harati, обозначьте
$\begin{array}{l}x-y=a\\ z-x=b\\ x+y+z=p\end{array}$
Система из этих трёх уравнений однозначно разрешима относительно $x, y, z$ при любых $a, b, p$, поэтому перепишите исходную систему через новые переменные, а про старые забудьте:
$a\neq 0,\; b\neq 0$
$pa=A$
$pb=B$
$p(a+b)=A+B=C$

Спасибо, но это по прежнему не решённая система. Нужно найти отдельно $x,y,z = f(A,B,C)$, а не их сумму.

[svv]

Я свёл задачу решения исходной системы
$\frac{A}{x-y}=\frac{B}{z-x}=\frac{C}{z-y}=x+y+z$
к задаче решения

svv в сообщении #1097243 писал(а):

$a\neq 0,\; b\neq 0$
$pa=A$
$pb=B$
$p(a+b)=A+B=C$

с последующим решением системы линейных алгебраических уравнений (тривиальная задача, учитывая, что матрица СЛАУ квадратная и определитель $\neq 0$).

На мой взгляд, система для $a,b,p$ проще, чем исходная. Но если Вы будете настаивать: «а мне надо $x,y,z$» — значит, Вы не поняли приёмчика, жаль.

[mihiv]

svv в сообщении #1097304 писал(а):

$a\neq 0,\; b\neq 0$
$pa=A$
$pb=B$
$p(a+b)=A+B=C$

Последнее уравнение равно сумме первых двух уравнений, поэтому система имеет бесконечное число решений.

[svv]

Ну да, об этом DeBill сразу сказал. Нам надо найти все решения.

Последнее уравнение — это «условие на условие», условие совместности. Если по условию $A+B\neq C$, ничто не поможет.

[DeBill]

harati
Во первых, прошу прощения за невнимательность (показалось, что система симметрична. Ан нет). Потому (как уже и написано у svv, необходимым условием разрешимости является не

DeBill в сообщении #1097228 писал(а):

является условие $A+B+C=0$.

а $C=A+B$.

harati в сообщении #1097283 писал(а):

по прежнему не решённая система.

Так в чем проблема? Давайте решим системуsvv, где
$a=\frac{A}{p}, b=\frac{B}{p}$, и $p$ - любое. Легко получим:
$y=\frac{p-b-2a}{3}, x=\frac{p-b+a}{3}, z = \frac{p+2b+a}{3}$, $a,bбз$ определены выше.
Конечно, это годится токо при условии $A+B=C$; при нарушении условия - решений нет.

[harati]

DeBill в сообщении #1097453 писал(а):

harati
Во первых, прошу прощения за невнимательность (показалось, что система симметрична. Ан нет). Потому (как уже и написано у svv, необходимым условием разрешимости является не

DeBill в сообщении #1097228 писал(а):

является условие $A+B+C=0$.

а $C=A+B$.

harati в сообщении #1097283 писал(а):

по прежнему не решённая система.

Так в чем проблема? Давайте решим системуsvv, где
$a=\frac{A}{p}, b=\frac{B}{p}$, и $p$ - любое. Легко получим:
$y=\frac{p-b-2a}{3}, x=\frac{p-b+a}{3}, z = \frac{p+2b+a}{3}$, $a,bбз$ определены выше.
Конечно, это годится токо при условии $A+B=C$; при нарушении условия - решений нет.

Спасибо, действительно $A+B=C$ всегда и решение имеет смысл. Но в итоговом решении мы получаем переменные как функции от p, которое, в свою очередь, $p=x + y + z$. Следовательно система @svv решена, а вот исходная - нет.

[arseniiv]

Эх, тяжёлый случай.

harati
$p$ — это параметр. Принимаете его равным какому-то числу — и получаете одно из решений. Все решения переберутся при всех допустимых значениях параметра (видимо, здесь это вещественные числа).

Когда решение вот такое параметрическое — это вообще очень хорошо. Иногда найти такой параметр, через который всё выражается элементарными функциями (или какими-то известными другими) не получается.

-- Вс фев 07, 2016 00:34:51 --

harati в сообщении #1097478 писал(а):

а вот исходная - нет

Между прочим, вы подставьте решения-то. Убедитесь, что они являются решениями и исходной системы. После чего для порядка останется только доказать, что у исходной нет каких-то других решений — это должно быть нетрудно, исходя из того, что уже упомянули.

[Lia]

harati
Замечание за избыточное цитирование.

-- 07.02.2016, 00:43 --

И в Карантин до просветления.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.