Дискриминант уравнения.

[stedent076]

Что такое дискримминант уравнения? И только уравнения, разрешимые в радикалах, имеют дискримминант?

[Brukvalub]

Возможно, вас интересует дискриминат многочлена?

[stedent076]

Brukvalub
Хорошо, а почему произведение корней многочлена $D(p)=a_n^{2n-2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ при $n=2$ равно $b^2-4ac$ ?

[Lia]

stedent076
Какого многочлена? У Вас переменной не видно, либо же их много. Что такое $p$?

[stedent076]

Lia
p–обозначение многочлена из страницы в Вики, формула оттуда же.
$a$, $b$, $c$ – коэффициенты при $x^2$,$x$ и $x^0$ квадратного трехчлена соответственно.

[Lia]

Ясно. Ну так посчитайте, это и получится. Дискриминант квадратного трехчлена равен квадрату разности корней, если уравнение приведенное. Если нет - дополнительный множитель вылезет.

[stedent076]

Lia
а почему он равен именно $b^2-4ac$?

[Brukvalub]

stedent076 Потому, что $(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$, ну и дедушку Виета не забыть позвать.

[stedent076]

Brukvalub
Тогда мы должны быть уверены в том, что сумма корней в квадрате равна $b$, а произведение – $c$. Это, фактически, теорема Виета, которая доказывается через формулы Виета. Но и формула дискримминанта и формулы Виета предполагают знание корней уравнения, но эти корни находятся через формулу дискримминанта и формулы Виета. Такой вот порочный круг получается. Можно ли как-нибудь найти корни многочлена, например, четвертой степени, а потом вывести дискримминант?

[Sinoid]

stedent076 в сообщении #1096514 писал(а):

а почему он равен именно $b^2-4ac$?

Вот уже второй раз вижу подобное недопонимание. Это не дискриминант равен $b^2-4ac$, нет. Это выражение $b^2-4ac$ даже не равно, оно просто так называется. Вот, к примеру, стол. Ведь его сначала сделали, а только потом придумали слово, обозначающее этот предмет.

[Brukvalub]

stedent076 в сообщении #1096518 писал(а):

Brukvalub
Тогда мы должны быть уверены в том, что сумма корней в квадрате равна $b$, а произведение – $c$.

Не знаю, как вы, но я в этом не уверен. Совсем не уверен. А если начну думать, то уверен, что стану уверен, что это не так.

[stedent076]

Sinoid
Что поделаешь, в школе нам вдалбливали несколько лет мысль о том, что $b^2-4ac$ называется дискримминантом.

[Sinoid]

Я понял ваше недоумение. Дискриминант определяется-то через корни, но потом доказывается, что он равен известному определителю от коэффициентов уравнения с этими самыми корнями.

[stedent076]

Sinoid
Определителю матрицы, разумеется? Как именно это доказывается?

[Lia]

stedent076
Зачем Вам определители, в 10 классе? Вполне достаточно будет, если Вы освоите стандартный вывод корней квадратного уравнения.
Таких тем много. Ключевое слово для поиска по форуму Вам известно. В последнее время только об этом, можно сказать, и пишем. (К чему бы это?)
Например. Есть и попримитивнее, ищите и наслаждайтесь.

А еще можно открыть учебник (за восьмой, кажется, класс, да?) и прочитать об этом никуда не обращаясь.