Исследование сходимости ряда

[Asatnin]

Здравствуйте! Возникло затруднение при решении такого задания: найти все значения $\alpha$, при которых сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}$. В моём случае

$$a_{n}=\Bigg(\bigg(\frac{\sh(1/n)}{\sin(1/n)}\bigg)^{3n} - 1\Bigg)^\alpha$$

Судя по всему, здесь нужно разложить числитель и знаменатель дроби по формуле Тейлора в окрестности точки 0. Получаем

$$a_{n}=\Bigg(\bigg(\frac{1/n+1/6n^3+o(1/n^3)}{1/n-1/6n^3+o(1/n^3)}\bigg)^{3n} - 1\Bigg)^\alpha$$

Тут я понял, что ситуация не улучшилась, и дальнейшие раздумья не дали результата.

[Otta]

Ну тут не над чем раздумывать. Раскладывайте дальше.

[Asatnin]

Otta в сообщении #1091121 писал(а):

Ну тут не над чем раздумывать. Раскладывайте дальше.

Не поверите, но действительно не могу увидеть того, что лежит, кажется, на поверхности. Единственное, что приходит на ум, так это то, что здесь нужно как-то применить второй замечательный предел касательно дроби в скобке, но в то же время понимаю, что это не так.

[Brukvalub]

Предполагается, что в этой и подобных ситуациях вы умеете находить первый ненулевой член разложения функции внутри скобок по формуле Тейлора по степеням $\frac1n$ . Если вы этого не умеете, то вам и не должны предлагать решать эту и подобные ей задачи.