Равномерное и показательное распред.

[mr.tumkan2015]

Пусть $P$ -- вероятностная мера на $(\mathbb{R}^3,B(\mathbb{R}^3))$, определенная равенством $P=P_1\times P_2\times P_3$, где $P_1$ и $P_2$ равномерные распределения на $[0;1]$, а $P_3$ -- экспоненциальное распределение с $\lambda >0$

Найдите $\mathbb{P}(x+y+z\leqslant 3)$.

Мне кажется, что имеет смысл разбить на случаи.

1) $\mathbb{P}(x+y\leqslant 1)$

2) $\mathbb{P}(1<x+y\leqslant 2)$

3) $\mathbb{P}(x+y>2)=0$

Но только это мне не помогает все равно.

$F(x)=x\cdot I_{[0;1]}$

$F(y)=y\cdot I_{[0;1]}$

$F(z)=1-e^{-\lambda z}\cdot I_{[0;\infty)}$

1) $\mathbb{P}(x+y\leqslant 1)=\mathbb{P}(x\leqslant 1-y)=F(1-y)$

Но это вряд ли поможет, скорее имеет смысл использовать показ распред. $\mathbb{P}(x+y+z\leqslant 3)=\mathbb{P}(z\leqslant 3-x-y)=F(3-x-y)=1-e^{-\lambda (3-x-y)}\cdot I_{[0;\infty)$

Пока что не было других идей. Подскажите, пожалуйста!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Задачу нормально поставьте. Совершенно непонятно, какое отношение все эти $p$ имеют к разнообразным иксам.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mr.tumkan2015]

Новых идей не появилось пока что(

[Brukvalub]

Каждая из мер имеет плотность, все сводится к интегрированию совместной плотности по телу $x+y+z\leqslant 3$. Стандартная задача на правило Фубини, в чем могут быть проблемы?

[mr.tumkan2015]

Brukvalub в сообщении #1089202 писал(а):

Каждая из мер имеет плотность, все сводится к интегрированию совместной плотности по телу $x+y+z\leqslant 3$. Стандартная задача на правило Фубини, в чем могут быть проблемы?

Спасибо! Правильно ли составлен интеграл и область??

$\mathbb{P}(x+y+z\leqslant 3)=\displaystyle\iiint_{D}1\cdot 1\cdot \lambda e^{-\lambda z}dxdydz$.

$D=\{(x,y,z,):x+y+z\leqslant 3, \; \;\;\;0 \leqslant x\leqslant 1;\;\;\;\;0 \leqslant y\leqslant 1 \;\;\;\;z\geqslant 0\}$

[Brukvalub]

Верно.