Бином Ньютона для частного случая.

[Gopher]

Добрый день.

Как известно, бином Ньютона представляет выражение $(a + b)^n$ как сумму $(n+1)$ слагаемых.
Вопрос: существует ли способ представить выражение $(a + b)^n$ как сумму $(n+1)$ слагаемых (а не тавтологии вида $a^n = a^n$) для частного случая, когда $b = 0$?

[arseniiv]

Вопрос неясен. Если $b = 0$, то все слагаемые, кроме одного, будут нулями. Если вам такое представление нужно, то берите на здоровье.

[Gopher]

arseniiv в сообщении #1088981 писал(а):

Вопрос неясен. Если $b = 0$, то все слагаемые, кроме одного, будут нулями. Если вам такое представление нужно, то берите на здоровье.

Комментарий по делу. Переформулирую вопрос.
Могу ли я представить $a^n$ как сумму $(n+1)$ ненулевых слагаемых?

[arseniiv]

При $n < 0$ или нецелом — нет. При остальных и ненулевом $a$ можно взять, например, слагаемые вида $\frac{a^n}{n+1}$. При нулевом $a$ придётся мудрить сильнее, но тоже реально. Итого: вопрос до сих пор не доведён до ясности, потому что мой ответ — явно не тот, которого вы ждали.

[Gopher]

Ряд Тейлора мне знаком. Он бесконечен, а я речь вел про конечную сумму, состоящую из $(n+1)$ слагаемых.

Поясню свой вопрос. Из наблюдений относительно частного случая бинома Ньютона получается как раз тот результат, о котором я написал в своем вопросе.

Более того, данный частный случай бинома Ньютона дает в аналитическом виде формулу для полинома в общем виде (как бы нелогично это не звучало), но немного в иной записи и опять же в виде $(n+1)$ слагаемых.

Результат этот настолько очевиден, что у меня возникает ощущение, что данное выражение уже широко известно.

[AV_77]

Gopher в сообщении #1088982 писал(а):

Могу ли я представить $a^n$ как сумму $(n+1)$ ненулевых слагаемых?

Можно, например, так: $a^n = ((a - 1) + 1)^n$.

[Gopher]

AV_77 в сообщении #1089007 писал(а):

Gopher в сообщении #1088982 писал(а):

Могу ли я представить $a^n$ как сумму $(n+1)$ ненулевых слагаемых?

Можно, например, так: $a^n = ((a - 1) + 1)^n$.

Я даже задумался, можно ли это выражение отнести к категории тавтологий, о которых я упоминал. Склоняюсь к ответу "да".
Но даже упуская из вида это обстоятельство, Вы пропустили в моем первом сообщении указание о $(n+1)$ слагаемых. В Вашем случае слагаемое - единственное.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения

Gopher
Сформулируйте вопрос осмысленно, дайте теме содержательное название.
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.