предел

[nickolai]

Как вычислить предел

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{e^x(2-x)-x-2}{x^3}=-\frac{1}{6}$$

не используя правила Лопиталя или разложения експоненты в ряд Тейлора?

[Pphantom]

Где-то минус потеряли - предел в левой части равенства равен $-1/6$.

[nickolai]

спасибо, исправил

[Brukvalub]

Зачем здесь "ряд Тейлора"? Достаточно локальной формулы Тейлора.

[nickolai]

а если нету "локальной формулы Тейлора"

[ewert]

nickolai в сообщении #1088774 писал(а):

а если нету "локальной формулы Тейлора"

А у вас, наоборот, ряда Тейлора не было.

Без Лопиталя или Тейлора, грубо говоря, никак.

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1088745 писал(а):

Достаточно локальной формулы Тейлора.

Асимптотической.

[gomomorfizm]

А почему бы, не мудрствуя лукаво, не воспользоваться вторым замечательным пределом:

$$\lim\limits_{x\to0}{(1+x)^{\frac{1}{x}}}=e$$

[Brukvalub]

Анекдот: два таможенника перекидываются предложениями: 1-й я растаможу этот мерседес за 5000 евро, 2-й - а я - за 4000 евро, 1-й - тогда я - за 3000 евро, 2-й ну - растамаживай.
Так что, gomomorfizm растамаживайте применяйте 2-й з.п., покажите класс!

[nickolai]

При применении следствий из 2-го.з.п. алхимия получается)), а хочется получить предел "елементарно". Или есть какие-то еще "тонкие" следствия?

1) Если взять $\exp(x)\sim 1+x, x\to 0,$ то получим $\infty.$

2)Если же вынесть в числителе $2+x$ и использовать и заметить, что $\frac{2-x}{2+x}=\frac{4}{2+x}-1=$
$=\frac{2}{1+x/2}-1=2\sum_{k=0}^\infty(-x/2)^k-1,$ также $\exp(x)\sim 1+x, x\to 0,$ перемножить, можем получить
$2\frac{-x^2/2+x^3/4+\ldots}{x^3}$. Отсюда опять $\infty.$ Но, если в знаменателе нашего предела взять $x^2$, то получим -1, а должно 0.

Вариант, что $\exp(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+O(x^4)$ считаем для нас неизвестным.

[Brukvalub]

nickolai в сообщении #1088809 писал(а):

При применении следствий из 2-го.з.п. алхимия получается))

Какая "алхимия"? Напишите "алхимию" здесь, хочется прикоснуться к прекрасному!

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.