Квадратурные формулы Ньютона-Котеса (вопросы по книге)

[fronnya]

Читаю книгу Бахвалов, Жидков, Кобельков Численные методы. Второе издание, глава 3, параграф 3. Речь идет о построении квадратурных формул при помощи замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом Лагранжа степени n-1. Итак, квадратурная формула Ньютона-Котеса порядка $n$ имеет вид

$$\int\limits_a^b f(x)dx \approx \left(\frac{b-a}{2}\right)\sum\limits_{j=1}^{n} D_j f\left(\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}d_j \right)$$

где

$D_j=\int\limits_{-1}^{1} \prod\limits_{i=1,i\ne j}^{n} \frac{t-d_i}{d_j-d_i} dt; d_i,d_j\in [-1;1]$
Вопросы:
1) При построении этой формулы использовался интерполяционный многочлен Лагранжа

$$L_n(x)=\sum_{j=1}^{n} f(x_j) \prod\limits_{i=1,i\ne j}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i}$$

Именно вот такой. Почему? Я посмотрел в интернете, в русской Вики, там везде суммирование и произведение от нуля ведется.
2) Далее в этом же параграфе строятся формулы прямоугольников, трапеций, парабол. И чтобы получить формулу прямоугольников, нужно найти $D_1$, как это сделать, исходя из тех формул, которые приведены здесь? Там же нуль в знаменателе получается.
3) По какому принципу выбираются $d_j$, в этой книге вроде как не написано.

[Pphantom]

fronnya в сообщении #1087640 писал(а):

Именно вот такой. Почему? Я посмотрел в интернете, в русской Вики, там везде суммирование и произведение от нуля ведется.

А какая разница? Если внимательно посмотреть на формулы, обнаружится, что от значений собственно индексов не зависит ничего, и выражения, в которых индексы пробегают значения, например, от $1$ до $n+1$, просто совпадают с теми, где индексы меняются от $0$ до $n$.

fronnya в сообщении #1087640 писал(а):

Далее в этом же параграфе строятся формулы прямоугольников, трапеций, парабол. И чтобы получить формулу прямоугольников, нужно найти $D_1$, как это сделать, исходя из тех формул, которые приведены здесь? Там же нуль в знаменателе получается.

В соответствующем произведении не будет ни одного сомножителя. Принято считать, что в таком случае произведение равно единице.

fronnya в сообщении #1087640 писал(а):

По какому принципу выбираются $d_j$, в этой книге вроде как не написано.

Принципиально их можно выбирать произвольным образом, правда, некоторые полученные результаты при этом будут получше, а некоторые - похуже. А как выбрать так, чтобы в некотором смысле получить наилучший результат, тоже написано, но позже: в конечном счете именно этому вопросу посвящены следующие два параграфа.

[fronnya]

Спасибо большое за ответ