Глупый вопрос по теории множеств, A^0

[Sonic86]

Пусть $A=\{a_j, j\in J\}$ - множество.
$n$-ая декартова степень множества $A$ есть $A^n = \underbrace{A\times...\times A}\limits_n, n\geqslant 1$.
А чему равно $A^0$?
Попытки решения:
Элементы $A^n$ - это кортежи длины $n$ вида $(a_{j_1},...,a_{j_n}), j_i\in J$. Тогда при $n=0$ имеем $A^0=\{()\}$ - множество, содержащее кортеж длины нуль. Но что такое $()$? Похоже на $\{\}$, но просто так это ничего не значит.
Определение упорядоченной пары по Куратовскому мне не помогает:

$A^1=A \Rightarrow (a)=a$?

$A^2\times A^0=A^2$
$(a,b)\cdot () = (a,b)$
$\{\{a,b\},\{a\}\}\cdot () = \{\{a,b\},\{a\}\}$
$()\neq \varnothing$ из рассмотрения мощностей обеих частей
$\{\{a\}\}\cdot \{...,x_j,...\} = \{\{a\}\}$...
дальше еррор
Ничего не понимаю.
Что это такое: $()$? Это не множество?

Практическая мотивация:
Вот написал я функцию:

int F0(){return 0;}

Я могу ее вызвать, значит она где-то определена. И где она определена?

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1 ... 0.BD.D1.8C
Вика невероятно лаконична

[AV_77]

$A^n$ - это множество отображений из $\{ 1, \ldots, n \} \to A$. Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.

[Sonic86]

AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):

Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.

Неверно:
Если $A^0=\varnothing$, то $A^n = A^0\times A^n = \varnothing$ для любого $A$.
Ясно, что $|A^0|=\frac{|A^n|}{|A^n|}=1>0 \Rightarrow A^0\neq\varnothing$
Если $A=\{\varnothing\}$, то тоже неверно, но уже по другой причине.

AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):

$A^n$ - это множество отображений из $\{ 1, \ldots, n \} \to A$.

Тоже неверно, просто одинаковые обозначения.
Например: $A^1=A=\{a_1,...,a_k\}$. Однако, по Вашему, $A^1=A^{\{1\}}=\{\{(1,a_1)\}, \{(1, a_2)\}, ..., \{(1, a_k)\}\}\neq A$.

[arseniiv]

Как раз множество $\varnothing\to A$ состоит из одного элемента — пустого отображения $\varnothing$, а не пусто само, так что тут согласие.

Sonic86
Декартово произведение — это «категорная» конструкция; нам, в сущности, не важно, как мы представляем кортежи множествами, так что мы можем получить много изоморфных декартовых произведений при желании. Главное, что если у нас есть несколько конструкторов пар $(,)_1, (,)_2$, и $A \times_i B \equiv \{(a,b)_i : a\in A, b\in B\}$, $l_i,r_i$ — проекции, соответствующие конструктору пары $(,)_i$, тогда $A\times_j B = \{(l_ic, r_ic)_j : c\in A\times_i B\}$. Аналогично с кортежами остальных длин. В результате $A^0$ — это синглетон $\{()\}$, а вот что именно такое $()$ — не важно. Часто выбирают $() = \varnothing$ — это четвёртое из широко распространённых соглашений в кодировании кортежей множествами, остальные вам известны:
• считать $(a) = a$;
• пара Куратовского;
• $(a,b,\ldots) = ((a,b),\ldots)$.

Но можно, конечно, определить через пару Куратовского функции и считать кортежи (включая новые пары) честно функциями из $1..n$, и даже для успокоения написать функцию $\mathsf{newPairToOldOne}\colon (2\to A)\to A\times A$, чтобы везде писать новые.

Не очень понятно написал, наверное, но вдруг представление составил.

[AV_77]

arseniiv в сообщении #1087546 писал(а):

Как раз множество $\varnothing\to A$ состоит из одного элемента — пустого отображения $\varnothing$, а не пусто само, так что тут согласие.

О, конечно, после праздников туплю немного

[Munin]

AV_77 в сообщении #1087533 писал(а):

Соответственно, $A^0$ - это множество отображений из $\varnothing \to A$, то есть пустое множество.

Вроде бы, не пустое, а одноэлементное.

Sonic86
По Вавилову (хорошая книжка!), понятие декартова произведения имеет смысл определять не точно (возясь с парами по Куратовскому и прочей мутатенью), а с точностью до изоморфизма, категорно. Поэтому, большого смысла выяснять, что же именно это будет, нет. Ясно, что это будет некое одноэлементное множество. А какое именно - не важно.

Почему одноэлементное? Ясно, что к любому декартову произведению можно добавить сомножитель - одноэлементное множество, и ничего не изменится. $A\times B\times\ldots\times C\cong A\times B\times\ldots\times C\times\{*\}.$ Это аналогично тому, как мы в арифметике можем любое произведение умножить ещё на $1.$ И поэтому, беря $n$-ю степень, мы можем добавить такой множитель, а когда $n=0,$ только он один в произведении и остаётся.

А теперь, при большом мазохизме, можно расписать это по Куратовскому...

-- 02.01.2016 12:40:40 --

Ах чёрт, я написал в точности то же, что и arseniiv... Ну ничего, пусть хотя бы обозначением $\{*\}$ обогащу тему.

-- 02.01.2016 12:58:28 --

По наивному определению.
Пусть произведение множеств определяется как

$$X_1\times\ldots\times X_n=\{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_i\in X_i\},$$

а $n$-ка - как

$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\},\{x_1,x_2\},\ldots,\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\}.$$

Как нам положить $n=0$? Заметим, что последнее выражение можно переписать в виде

$$(x_1,\ldots,x_n)=\{\{x_1\}\}\cup\{\{x_1,x_2\}\}\cup\ldots\cup\{\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\},$$

а к любому объединению приписать ещё и $\varnothing\cup\ldots$ Тогда получается $()=\varnothing,$ и $A^0=\{\varnothing\}.$

[Sonic86]

Ладно, понятно.
Видимо, это еще одна "дырка" в теорию категорий из теории множеств.
Спасибо всем большое. Че-то я просто перепугался.

arseniiv в сообщении #1087546 писал(а):

Декартово произведение — это «категорная» конструкция

Это понятно, но хотелось явно узнать, что происходит именно в теории множеств: в ней-от ничего нет кроме множеств, значит и $()$ тоже д.б. множеством. А остальной Ваш текст я не очень осилил , кроме отображения $(2\to A)\to A\times A$.

Понял еще ошибку:

Sonic86 в сообщении #1087530 писал(а):

$\{\{a,b\},\{a\}\}\cdot () = \{\{a,b\},\{a\}\}$
$()\neq \varnothing$ из рассмотрения мощностей обеих частей
$\{\{a\}\}\cdot \{...,x_j,...\} = \{\{a\}\}$...
дальше еррор

$\cdot$ - это не декартово произведение и неверно думать, что $\bar x \cdot\varnothing = \varnothing$: как раз $\bar x \cdot\varnothing = \bar x$

[arseniiv]

Sonic86 в сообщении #1087561 писал(а):

А остальной Ваш текст я не очень осилил

Mea culpa. Кажется, пытаться сделать понятнее то, что я там написал, уже и не нужно.

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1087561 писал(а):

Видимо, это еще одна "дырка" в теорию категорий из теории множеств.

Вавилов это явно произносит. Более того, не как "дырка", а вообще полкниги у него "точно-аксиоматическое", а полкниги - "с-точностью-до-изоморфизма-категорное".

Не совсем наивная теория множеств (Mengenlehre)
§ 1.10, стр. 109

Цитата:

Определение. Прямым произведением двух множеств $A$ и $B$ называется множество $A\times B$ вместе с отображениями $\mathrm{pr}_1\colon A\times B\to A$ и $\mathrm{pr}_2\colon A\times B\to B,$ называемыми каноническими проекциями $A\times B$ на первый и второй множитель, удовлетворяющее следующему универсальному свойству. Для любого множества $C$ и любых отображений $f\colon C\to A$ и $g\colon C\to B$


$$\xymatrix@=3pc{ A\times B \ar[r]^{\mathrm{pr}_1} \ar[d]_{\mathrm{pr}_2} & A \\ B & C \ar[u]_{f} \ar[l]^{g} \ar@{-->}[ul]^{(f,g)} }$$

существует единственное отображение $(f,g)\colon C\to A\times B$ такое, что $f=\mathrm{pr}_1\circ(f,g)$ и $g=\mathrm{pr}_2\circ(f,g).$

Добавлю, что в других местах, например, в Википедии, эту же диаграмму рисуют обычно стилистически немножко иначе:

$$\xymatrix@=3pc{ & C \ar[dl]_{f} \ar[dr]^{g} \ar@{-->}[d]^{(f,g)} & \\ A & A\times B \ar[l]^{\mathrm{pr}_1} \ar[r]_{\mathrm{pr}_2} & B }$$

[Sonic86]

Munin, я это читал все, но мне это все пока неинтересно: я все равно этим не пользуюсь, поэтому для меня это пока выглядит как конструирование сферических абстракций в вакууме. Меня интересовало, что такое $()$ в наивной теории множеств (или в NBG, если угодно).

Munin в сообщении #1087577 писал(а):

Вавилов это явно произносит.

Не видел я у него ничего подобного. Пример про $((a,b),c)\neq (a, (b,c))$ неинтересен совершенно ввиду бесполезности, а других примеров у него там нет.
А тут - конкретная дырка.

[alex_dorin]

Я считаю, что понятие степени просто вводится по определению. Это касактся и нулевой степени. Таким образом, выводить никаких формул не нужно.

[Munin]

Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):

Меня интересовало, что такое $()$ в наивной теории множеств (или в NBG, если угодно).

Не бывает. Или, если угодно, у каждого автора по-своему. Поэтому пояснения Вавилова лучше всё-таки прочитать и понять.

Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):

Не видел я у него ничего подобного.

Цитата:

В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе булевых операций, операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной. Результат применения булевых операций определен на самом деле. В отличие от этого прямое произведение двух множеств определено не единственным образом, а лишь с точностью до канонического изоморфизма.

[Sonic86]

Munin в сообщении #1087659 писал(а):

[$()$] Не бывает.

А ведь должно!

Munin в сообщении #1087659 писал(а):

Поэтому пояснения Вавилова лучше всё-таки прочитать и понять.

Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):

Не видел я у него ничего подобного.

Вавилов писал(а):

В отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе булевых операций, операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной. Результат применения булевых операций определен на самом деле. В отличие от этого прямое произведение двух множеств определено не единственным образом, а лишь с точностью до канонического изоморфизма.

Понять я понял, да вот объяснений там просто нет.
Слова "операция прямого произведение является не теоретико-множественной, а теоретико-категорной" можно понимать двояко:
1) "Операция прямого произведение является не только теоретико-множественной, но и теоретико-категорной".
2) "Операция прямого произведение не является теоретико-множественной".
Вариант 2) просто ложен: операция прямого произведение является теоретико-множественной, можно даже в русской Википедии это узнать.
Вариант 1) понятен и вопросов не вызывает. Но я еще не дошел до того места, где теория категорий начинает приносить хоть какую-то пользу. Точнее - дошел только сейчас, когда понял то, что $()$ не существует в ТМ при условии сохранения всех естественных свойств декартова произведения, но должен. А у Вавилова эти слова - это просто тезис без мотивировки и обсуждений, т.е. это не объяснение. Есть дальше объяснение про неассоциативность декартова произведения, но это просто мелочно (была дискуссия topic102858.html). Потому я продолжаю утверждать

Sonic86 в сообщении #1087583 писал(а):

Не видел я у него ничего подобного.

А вот проблема с $()$ - это уже поинтереснее. Меня для перехода к категорной формулировке это мотивирует сильнее.

[arseniiv]

Эм, погодите, а какой вопрос-то остался? (Я попробую написать понятнее в этот раз.)

[Sonic86]

Насколько я понял, нет: у меня вопросов нет, а Munin мне пытается доказать, что у Вавилова хорошо описано правильное понимание декартова произведения.