Кольца, поля

[JeKaCompaS]

2. В поле $F_{2^5}$ решить уравнение $x^5+t+1=0$, где $t \in F^*_{2^5}$

[AV_77]

0) Не понятно, зачем выделять $t \neq 0$. Но это ладно. Давайте разбираться.
1) Итак, нам задана некоторая константа $t$. Может ли оказаться, что $t+1 = 0$? Если может, то какие решения мы получим?
2) Если $t + 1 \neq 0$. Может ли оказаться, что $x = 0$?
3) Какой порядок имеет мультипликативная группа поля $\mathbb{F}_{2^5}$? Сколько корней имеет наше уравнение в $\mathbb{F}_{2^5}$?
4) Если оказалось, что $a$ - корень. Можно ли найти такое $m$, что $a^{5m} = a$?.

[JeKaCompaS]

1. Может. Получим $x=0$ кратности 5.
2. Да, так как расширение не циклическое.
3. Порядок - 31. Корней - 5.
4. Для любого $m$?

[JeKaCompaS]

Ребят, ничего не родилось!
Помогите, прям очень нужно
В интернете ничего внятного найти не могу, конечные поля Лидл, Ниддерайтер "Конечные поля" не помогли...

[AV_77]

JeKaCompaS в сообщении #1086392 писал(а):

1. Может. Получим $x=0$ кратности 5.

Это ладно, сойдет.

JeKaCompaS в сообщении #1086392 писал(а):

2. Да, так как расширение не циклическое.

Какое расширение не циклическое и при чем тут оно?

JeKaCompaS в сообщении #1086392 писал(а):

3. Порядок - 31. Корней - 5.

Порядок такой. Число корней другое.

JeKaCompaS в сообщении #1086392 писал(а):

4. Для любого $m$?

Хотя бы одно $m$ с нужным свойством.

JeKaCompaS в сообщении #1086470 писал(а):

ничего не родилось!

Чтобы чего-нибудь родилось надо постараться. Теорию что-ли посмотрите. Про циклические группы, их свойства и автоморфизмы почитайте.