Проверьте, пожалуйста, мои выкладки. Не могу понять где ошибка.
У меня есть целевой интеграл, который я хочу посчитать:
![$$\[I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/b/edb8d8710cdb48b9d88dc50a0a81d9f882.png "$$\[I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$")
Я преобразую его следующим образом:
![$$\[{{b}^{2}}I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}dx}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/f/51f2e802fc26c405bebb9e26c32f69d982.png "$$\[{{b}^{2}}I\left( y,a,b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)}{{{\left( x-y \right)}^{2}}}dx}\]$$")
Затем дифференцирую по параметру
:
![$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=2b\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/5/805ca8347a7244186bbb0cbbc25103ed82.png "$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=2b\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$")
Интеграл справа у меня посчитан и проверен (это слегка модернизированная формула 3.923 из Рыжика и Градштейна, страница 499), его значение:
![$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/1/3a1c6b64190e11f90cb39e55a2f06b0d82.png "$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)$$")
С учётом этого у меня получается следующее:
![$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=\frac{2b\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/3/153ab771830ef5478b572219bcfd535e82.png "$$\[\frac{\partial }{\partial b}\left( {{b}^{2}}I\left( y,a,b \right) \right)=\frac{2b\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{b}^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)\]$$")
Теперь я интегрирую правую и левую часть по переменной
от
до
. Слева интеграл берётся сразу, нулевая подстановка даёт нуль, поэтому я получаю:
![$$\[I\left( y,a,b \right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/8/cc8c4a093b3c5ef2d5fa6df2d945d6ba82.png "$$\[I\left( y,a,b \right)=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$")
Последний определённый интеграл с конечными пределами я тоже посчитал (хотя выражение получилось с комплексными числами, даёт оно чисто действительный результат):
![$$\[\begin{matrix}
I\left( y,a,b \right)=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/d/1ddc5032c57140f639896886b83b18a382.png "$$\[\begin{matrix}
I\left( y,a,b \right)=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$")
Теперь я хочу эти вычисления проверить. Для этого я задаюсь какими-нибудь случайными значениями параметров
,
и
и рассчитываю следующие три величины:
![$$\[{{V}_{1}}=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/a/e6a76b63c46327d0dd9d34e24df6e8db82.png "$$\[{{V}_{1}}=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-y \right)}^{2}} \right)dx}\]$$")
![$$\[{{V}_{2}}=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/e/edef2cc85709b488b32b125eb0a63aca82.png "$$\[{{V}_{2}}=\frac{2\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{\beta }^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$")
![$$\[\begin{matrix}
{{V}_{3}}=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/f/e/5fe66dd1de5954a535da21194c3e724a82.png "$$\[\begin{matrix}
{{V}_{3}}=\frac{i\sqrt{\pi }}{{{b}^{2}}}\left( \sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}\exp \left( \frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}} \right)-\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}\exp \left( -\frac{i{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}} \right) \right)+ \\
+\frac{\pi {{a}^{2}}y}{{{b}^{2}}}\exp \left( -{{a}^{2}}{{y}^{2}} \right)\left( \operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)-\operatorname{erf}\left( \frac{i{{a}^{2}}y}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$")
Первые две рассчитываю путём численного интегрирования, а третью — просто по формуле (правда пришлось найти реализацию для MATLAB функции ошибок комплексного аргумента). При этом я обнаруживаю, что вторая и третья величины совпадают вплоть до самых последних значащих цифр в формате числа (точность интегрирования поставил
), но совершенно не совпадают с первой величиной. Отсюда я делаю вывод, что где-то допустил ошибку. Однако, как бы я не старался её найти ничего подозрительного не вижу. Нарекания мог бы вызывать промежуточный интеграл от экспоненты и косинуса с бесконечными пределами, однако он удачно прошёл точно такую же численную валидацию, какую я применяю к первому и последнему выражениям.
Очень надеюсь на вашу помощь.
![$$\[\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x+{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/a/d8a20b0c152995cdc16d1204c69ea0f182.png "$$\[\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x+{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)dx}\]$$")
![$$\[\begin{matrix}
\int{\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x+{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)dx}=\frac{a}{8{{b}^{4}}}\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\times \\
\times {{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( 2a\left( {{a}^{2}}\left( -3x+5{{y}_{3}} \right)-2\left( x-{{y}_{3}} \right)\left( {{x}^{2}}-2y_{0}^{2}+3y_{3}^{2} \right) \right)+\sqrt{\pi }\operatorname{erf}\left( \frac{x+{{y}_{3}}}{a} \right)\times \right. \\
\times \left. \left( 3{{a}^{4}}-4{{a}^{2}}\left( y_{0}^{2}-3y_{3}^{2} \right)+4{{\left( y_{0}^{2}-y_{3}^{2} \right)}^{2}} \right)\exp \left( \frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/8/298bc51d318eac8e21e460203ce3a42782.png "$$\[\begin{matrix}
\int{\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)\operatorname{sinc}\left( \frac{{{\left( x+{{y}_{0}} \right)}^{2}}}{{{b}^{2}}} \right)dx}=\frac{a}{8{{b}^{4}}}\exp \left( -\frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\times \\
\times {{\operatorname{sinc}}^{2}}\left( 2a\left( {{a}^{2}}\left( -3x+5{{y}_{3}} \right)-2\left( x-{{y}_{3}} \right)\left( {{x}^{2}}-2y_{0}^{2}+3y_{3}^{2} \right) \right)+\sqrt{\pi }\operatorname{erf}\left( \frac{x+{{y}_{3}}}{a} \right)\times \right. \\
\times \left. \left( 3{{a}^{4}}-4{{a}^{2}}\left( y_{0}^{2}-3y_{3}^{2} \right)+4{{\left( y_{0}^{2}-y_{3}^{2} \right)}^{2}} \right)\exp \left( \frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right) \right) \\
\end{matrix}\]$$")
![$$\[8{{b}^{4}}\exp \left( \frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/3/2c3b8b5812ae96a9f3902cdbbcc2712482.png "$$\[8{{b}^{4}}\exp \left( \frac{{{\left( x+{{y}_{3}} \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\]$$")
.
были нулевыми.![$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\sin \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)=$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/b/1fbbb45e7a087c97111e18905fc1d06782.png "$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\sin \left( {{b}^{2}}{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\sin \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)=$$")
![$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/6/796b785281040a128b7ae92829e8c81b82.png "$$\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{a}^{2}}{{x}^{2}} \right)\cos \left( {{b}^{2}}{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\cos \left( \frac{1}{2} \arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)=$$")
Впрочем, элементарные функции не нужны, главное, чтобы полученные функции считались в матпакетах. 
ставит фигурные скобки везде, где только можно.
Но даже в случае, когда 
, и выражение для первообразной значительно упрощается, я не представляю, как подставить бесконечные пределы интегрирования, ведь под функцией ошибок аргумент имеет комплексный множитель. ![$$\begin{matrix}
\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -\left( a{{x}^{2}}+2bx+c \right) \right)\cos \left( p{{x}^{2}}+2qx+r \right)dx}= \\
=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}}}\exp \left( \frac{a\left( {{b}^{2}}-ac \right)-\left( a{{q}^{2}}-2bpq+c{{p}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}} \right)\times \\
\times \cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{p}{a}-\frac{p\left( {{q}^{2}}-p r \right)-\left( {{b}^{2}}p-2abq+{{a}^{2}}r \right)}{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}} \right) \\
\end{matrix}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/1/0319736d3c360ad20936b29d7f39830c82.png "$$\begin{matrix}
\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -\left( a{{x}^{2}}+2bx+c \right) \right)\cos \left( p{{x}^{2}}+2qx+r \right)dx}= \\
=\frac{\sqrt{\pi }}{\sqrt[4]{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}}}\exp \left( \frac{a\left( {{b}^{2}}-ac \right)-\left( a{{q}^{2}}-2bpq+c{{p}^{2}} \right)}{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}} \right)\times \\
\times \cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{p}{a}-\frac{p\left( {{q}^{2}}-p r \right)-\left( {{b}^{2}}p-2abq+{{a}^{2}}r \right)}{{{a}^{2}}+{{p}^{2}}} \right) \\
\end{matrix}$$")
После небольших махинаций с параметрами вот этот интеграл![$$\[\begin{matrix}
\frac{2}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)= \\
=\left( \frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)\cos \left( \frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)-\left( \frac{1}{\sqrt{-{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{-{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)\sin \left( \frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right) \\
\end{matrix}\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc8fc18e7968b9d7530eba2f50ed0e6682.png "$$\[\begin{matrix}
\frac{2}{\sqrt[4]{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}}}\cos \left( \frac{1}{2}\arctg\frac{{{b}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)= \\
=\left( \frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)\cos \left( \frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right)-\left( \frac{1}{\sqrt{-{{a}^{2}}+i{{b}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{-{{a}^{2}}-i{{b}^{2}}}} \right)\sin \left( \frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{b}^{4}}} \right) \\
\end{matrix}\]$$")
![$$\[\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{\beta }^{2}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/d/38dc8b3994648047f0e8abbd5f02ac9182.png "$$\[\int\limits_{0}^{b}{\frac{\beta }{\sqrt{{{a}^{2}}+i{{\beta }^{2}}}}\exp \left( -\frac{{{a}^{2}}{{\beta }^{4}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)\cos \left( \frac{{{a}^{4}}{{\beta }^{2}}{{y}^{2}}}{{{a}^{4}}+{{\beta }^{4}}} \right)d\beta }\]$$")
![$$\[F\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}} \right)dx}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/a/a4aaa94785e36c94c9f7cdb4a608f45782.png "$$\[F\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},b \right)=\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\exp \left( -{{x}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-{{x}_{1}} \right)}^{2}} \right)\operatorname{sinc}\left( {{b}^{2}}{{\left( x-{{x}_{2}} \right)}^{2}} \right)dx}\]$$")
То как мне аналитически проверить, что угаданная функция действительно является интегралом?
Всяческие подстановки, дифференцирования по ним и тому подобное могут дать контрпример (а могут и не дать, конечно).