Задача на движения тела, закон сохранения энергии.

[Abra]

Здравствуйте, прошу помощи, ибо не знаю как решить подобну задачу:
Частица движется без трения по поверхности чашки, описываемой в цилиндрической системе координат уравнением $z=\alpha r^4$. Поле тяжести направлено вдоль оси $z$. На высоте $h$ скорость частицы была горизонтальной и равна $V$. Найти границы движения частицы.

Во первых, мне не понятно, что значит найти границы движения, как я понимаю, нужно найти траекторию движения, т. е. при каких $V$ шарик опустится вниз, а при каких наверх.
Во вторых, как мне решать эту задчу, если мне надо найти зависимость высоты $h$ от $V$. Вот мои действия:

Нам известна кинетическая и потенциальная энергия, следовательно, нам известна полная энергия $E = K + U = \frac{mV^2}{2} + mgh.
Можно еще записать момент импульса шарика $L = rp = rmV$, но только не думаю, что это поможет.

Также можно рассмотреть силы действующие на тело, когда шарик переместится на конечный уровень высоты:
Ox : $\frac{mv^2}{R} = NCos\alpha$
Oz : $0 = NSin\alpha$

[Pphantom]

Abra в сообщении #1083047 писал(а):

Во первых, мне не понятно, что значит найти границы движения, как я понимаю, нужно найти траекторию движения, т. е. при каких $V$ шарик опустится вниз, а при каких наверх.

Нет. Вам надо найти область, в которой частица может двигаться.

[Abra]

Я конечно понимаю, что сейчас скажу бред, но по моему шарик может двигать от h = 0 до высоты чашки.

Также, чтобы вам было понятнее я нарисовал рисунки, 1 рисунок рассмотрел движение шарика по чашке, второй рисунок рассмотрел силы, действующие на шарик.
1, 2 рисунок соответственно:

[Ms-dos4]

Abra
Вам фактически задана полная энергия системы $\[E\]$, и вам нужно такие точки, где $\[E = U\]$ - это и будут границы возможного движения частицы (точки поворота).

[Abra]

Я правильно понимаю, если $E = U$, то $K = 0$, значит сскорость равна нулю, т.е. мне нужно найти такую высоту, при которой, скорость будет равна нулю? Но ведь такого не может быть, потому как при поднимании шарика вверх скорость снижается и при уменьшении скорости до определённого числа, шарик уже перестанет подниматься.

Pphantom:

Формулы не забывайте правильно набирать. Выше исправлено.

[12d3]

Момент импульса тоже нужен, ибо его вертикальная составляющая сохраняется, и поэтому кинетическая энергия быть равной нулю не может.
Очевидно, для точек поворота вертикальная составляющая скорости равна нулю. Вот и запишите для этих точек ЗСЭ и ЗСМИ (только для вертикальной проекции).

[Ms-dos4]

Я вот только не пойму, в исходном после в формулировке указана "частица", потом же пишутся рассуждения для шарика. Так всё таки частица или шар?

[DimaM]

Совершенно стандартная задача по механике для первого курса. Решается совершенно стандартно:
1. Делим скорость на радиальную и перпендикулярную компоненты, выражаем перпендикулярную через момент импульса и радиус.
2. Записываем кинетическую энергию, учитывая п. 1.
3. Записываем эффективную потенциальную энергию (потенциальная плюс часть кинетической, зависящая только от радиуса).
4. Сводим задачу к одномерной (движение по радиусу) с эффективной потенциальной энергией.
5. Находим границы движения (для одномерной задаче очевидным образом).
Все это должно было быть рассказано на лекциях по предмету.

[Abra]

Посмотрите пожалуйста как я сделал, не получается дальше:
$\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}$; $L = rp = rmV$ , т. к. угол между векторами 90 градусов. Далее $K = \frac{L^2}{2mr^2 }$; $U\prime = mgh + \frac{L^2}{2mr^2 }$; $\frac{L^2}{2mr^2 }-U\prime=-mgh$.
Где $U\prime$ - эффективный потенциал,
$K$ - Кинетическая энергия.
Конечное выражение это и есть уравнения одномерного движения? Как мне быть дальше.

[DimaM]

Abra в сообщении #1083190 писал(а):

Конечное выражение это и есть уравнения одномерного движения?

Нет, это не есть уравнение одномерного движения. Вам, собственно, само уравнение не нужно, а нужен его первый интеграл - энергия.

Abra в сообщении #1083190 писал(а):

Как мне быть дальше.

Как я выше уже писал, начать нужно с выделения радиальной и перпендикулярной скорости и соответствующего разделения кинетической энергии. Дальше надо записать полную энергию в зависимости от радиальной скорости и радиуса (для произвольного радиуса и соответствующей высоты, не только для начальной точки).
Разумеется, при этом ни в коем случае не нужно обозначать одним и тем же символом $U\prime$ (правильно, кстати, $U^\prime$) два разных выражения - это верный способ запутаться.

[peripatetik]

Если нужно найти просто высоты горизонтальных плоскостей между которыми заперта частица, то все намного проще. Первая плоскость это начальная высота частицы. Вторая плоскость находится из условия что вертикальная скорость обращается в ноль, а горизонтальную легко найти как функцию высоты через ЗСМИ для вертикальной проекции момента импульса. Потом, через ЗСЭ находим высоту второй плоскости.

[Abra]

Посмотрите пожалуйста, делал все как вы говорили. $r$ - радиус горизонтальной окружности, R - вектор от начала координат, до шарика.
У меня остаются две неизестных константы это $\alpha$ и $r$.
http://rghost.ru/7pS8ccbkf/image.png

[peripatetik]

OMG :) У Вас еще есть уравнение поверхности, а вертикальная проекция момента импульса зависит только от горизонтальной скорости и расстояния до оси аппликат.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- замените картинку на нормальный текст (с правильно набранными формулами).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.