Любопытная задачка для математиков и программистов

[zhamantikovagg]

Всем хорошо известна последовательность Фибоначчи, у которой первые два элемента - 1, 1, а каждый последующий равен сумме двух предыдущих.
Оказалось, что в любой позиционной системе наблюдается цикличность. Например, в десятичной системе счисления каждый пятнадцатый элемент последовательности - круглое число, в восьмеричной - каждый шестой, в семиричной - каждый восьмой, в троичной - каждый четвертый и т.д.
Задача: составить алгоритм, позволяющий рассчитать для любой n-ричной позиционной системы счисления размер цикла последовательности Фибоначчи. Или доказать, что это невозможно.

[gris]

А можно ли уйти от привязки к позиционной системе? Что означает круглость числа в конкретной one?
Почему-то подумалось о Пизанской башне

[zhamantikovagg]

Круглость числа означает способность системы саму себя точно измерить, не используя никакие внешние эталоны, используя только свои внутренние свойства и пропорции.
Поставленная мной задача пытается совместить классическую математику и физику с квантовой.

[gris]

У натуральных чисел существуют свойства, которые не зависят от свойств изображения этого числа в конкретной или произвольной позиционной системе. Некоторые же свойства изображения числа (то есть его внешние свойства) в позиционной системе зависят от свойств этого числа без привязки к позиционной системе. Натуральное число имеет внутренние свойства, одинаковые во всех позиционных системах, например, быть квадратом или делиться на три.

[Sonic86]

Хотел было Вам ответить, но прочитал это:

zhamantikovagg в сообщении #1080521 писал(а):

Поставленная мной задача пытается совместить классическую математику и физику с квантовой.

и передумал: наверное, Вы - какой-нибудь очередной клон и Вас скоро забанят.

З.Ы. Программисты-то тут при чем. Задача относительно простая. Начните с изучения малой теоремы Ферма и формулы Бине для чисел Фибоначчи. Дальше все зависит от того, извлекается ли корень $\sqrt{5}$ в $\mathbb{Z}_p$ или нет.

[zhamantikovagg]

gris, я совершенно согласна с Вами, что свойства натуральных чисел универсальны в любой системе счисления. Независимо от того, пишем мы 5 или 10 (пять в пятиричной системе счисления), мы имеем в виду совершенно определенное количество. И когда мы говорим о свойствах натуральных чисел, мы имеем в виду физические свойства, которые показывают влияние количества на пространственное расположение тел, структуру вещества, информационную емкость системы и т.д.
И именно эти свойства и следует изучать! Не абстрагируясь от них, не уходя в какие-то теоретические математические дебри, не отрываясь от физической реальности!
Математики изучают числа, порой, забывая, что эти числа означают. Получается "искусство ради искусства".

-- 08.12.2015, 10:26 --

Как известно из химии, свойства химического элемента зависят от КОЛИЧЕСТВА протонов в ядре. Есть и другие условия (атомная масса, количество электронов на внешней оболочке...), но именно число протонов однозначно определяет, что перед нами - атом золота или свинца.
В конце концов, вопрос сводится к тому, действительно ли все вещества состоят из атомов или это всего лишь умозрительная модель, а мир в своей основе квантовый?

[gris]

Мы с Вами что, начали иллюстрировать недавнюю тему о пользе демагогии? Собрание решительно осудило оную даже в малых дозах, и у меня нет никакого желания подвергаться осуждению и очистительным процедурам. Для меня лично отмеченное Вами свойство ЧФ отсылает к квантам как к журналам для школьников, где я когда-то что-то такое любознательно читал. Я воспринимаю круглость числа лишь как его делимость на основание позиционной системы, а не как способ его самопознания. Физические теории суть абстрактные модели реального мира, а математические находятся на ещё большем уровнем абстракции. В них не решаются описанные Вами интереснейшие проблемы других <псевдо>наук.

[zhamantikovagg]

Я не знаю, что Вы называете демагогией... Мы говорим о фундаментальной проблеме.
Для меня квантовость - это целостность системы. Слово квант переводится как "сколько" (неважно чего именно). А слово сколько применимо только к множествам, состоящим из целостных систем (людей, планет, атомов...). Если математика изучает мир через количества, то она должна иметь ясное представление, когда множество переходит в единство (количество переходит в качество), и наоборот. Как количество определяет качество?
Мы знаем, что числа влияют на свойства. В химии число протонов определяет химический элемент, в электромагнитном спектре частота волны определяет свойства излучения и т.д. Существуют ли на самом деле протоны или нет? Частота - что это? Существует ли время на самом деле или нет? Скорее всего, это абстракции. Существует ли человек, или он лишь часть общества, единица биологического вида? Мы не можем ответить на эти вопросы однозначно. Но числами оперировать мы можем всегда. И в этом смысле числа менее абстрактны, чем что-либо другое и позволяют нам изучать явление даже в том случае, если мы не знаем, что оно на самом деле из себя представляет.

zhamantikovagg, пожалуйста, в последнем Вашем сообщении ветки:

1) уточните используемые Вами понятия: «круглость» числа и «размер цикла»;
2) напишите: что Вами уже исследовано, в чём состоят трудности, какая литература изучена;
3) укажите: как далеко Вы продвинулись благодаря предложению участника Sonic86.

При переносе в Карантин все Ваши сообщения кроме последнего сообщения — заблокированы.
После того как отредактируете, удалите мой модераториал и напишите запрос на возвращение в теме «Сообщение в карантине исправлено».
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.