задача по комплексному анализу

[Dyadya_Magistr]

Здравствуйте,

Помогите пожалуйста решить следующюю задачу.

Пусть функция $f(z)$ аналитична во всей комплексной плоскости и

$$ \max_{|z|=2R} |f(z)| \le 2^n \max_{|z|=R} |f(z)|$$

для $R>0$.
Докажите, что $f(z)$ полином порядка не выше $n$.


Я хотел исползовать факт что если $|f(z)| \le k {|z|}^n$ то $f(z)$ полином порядка не выше $n$.
Но не могу связать это с моей задачей.

Заранее благодарен.

[Brukvalub]

Докажите и воспользуйтесь тем, что из заданного соотношения вытекает, что для $k=2^m$ верна оценка

$$ \max_{|z|=kR} |f(z)| \le k^n \max_{|z|=R} |f(z)|$$

[Dyadya_Magistr]

если не ошибаюсь в левой части неравенства должно быть $n$ вместо $k$ ?

$$ \max_{|z|=nR} |f(z)| \le k^n \max_{|z|=R} |f(z)|$$

[Otta]

Нет, должно быть $k$ именно указанного вида. $2^m$.

[Dyadya_Magistr]

да, вы правы. Доказал неравенство, но не вижу как им воспользоваться.

[Brukvalub]

Dyadya_Magistr в сообщении #1079696 писал(а):

Доказал неравенство, но не вижу как им воспользоваться.

Фиксируйте $R$ и рассуждайте по аналогии с тем, как доказывается известная вам теорема про многочлен.

[Dyadya_Magistr]

Я взял $R=1$ что дает мне слудующюю оценку

$$ |f(z)| \le \max_{|z|=k} |f(z)| \le k^n \max_{|z|=1} |f(z)| \le |z|^n C $$

где $C= \max_{|z|=1} f(z)$

теперь я могу использовать теорему?

[Brukvalub]

Вы собираетесь только выполнять чужие указания и считаете, что именно в этом состоит процесс обучения?

[Dyadya_Magistr]