Равномерная непрерывность функции

[qx87]

1. Даны функции $f: X \rightarrow Y$ и $g: Y \rightarrow Z$. Будет ли их композиция $h$ равномерно непрерывной на $X$, если
1) они обе равномерно непрерывны;
2) $f$ равномерно непрерывна, а $g$ непрерывна;
3) $f$ непрерывна, а $g$ равномерно непрерывна?

Пусть на множествах $X, Y, Z$ заданы соответственно метрики $d, r, t$. Запишем для первого случая условия равномерной непрерывности (р.н.) $f$ и $g$:

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_1 > 0 \quad \forall \forall x_1, x_2 \in X: (d(x_1, x_2) < \delta_1 \Rightarrow r(f(x_1), f(x_2)) < \varepsilon)$
$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta_2 > 0 \quad \forall \forall y_1, y_2 \in Y: (r(y_1, y_2) < \delta_2 \Rightarrow t(g(y_1), g(y_2)) < \varepsilon)$.

Т. е. мы задаём некоторое $\varepsilon > 0$, определяем $\delta_1(\varepsilon)$ и для близких (относительно $d$) $x_1, x_2$ имеем $r(f(x_1), f(x_2)) < \varepsilon$. Далее задаём $y_1 = f(x_1), y_2 = f(x_2)$, то есть $r(y_1, y_2) < \varepsilon$. Однако для подстановки этого во второе условие нам нужно, чтобы эта метрика ($r(y_1, y_2)$) была меньше $\delta_2 = \delta_2(\varepsilon)$, но нам известно лишь, что она меньше $\varepsilon$. И если $\delta_2(\varepsilon) < \varepsilon$, то условие р.н. $h$ не выполняется, поскольку может оказаться $\delta_2 < r(y_1, y_2) < \varepsilon$. Поэтому ответ на задачу: нет. А для остальных случаев тем более нет, потому что там даны ещё более слабые (чем р. н.) условия.

===============

2. Даны ограниченные р. н. функции $f: [a, \infty] \rightarrow \mathbb{R}$ и $g: [a, \infty] \rightarrow \mathbb{R}$. Доказать, что $h = fg$ -- тоже р. н. функция.

===============

Для первой задачи просто хотелось бы узнать, верно ли моё решение. А вторую никак не могу решить. Пытался записать определение р. н. и ограниченности для обеих функций и вывеси напрямую, пробовал приплести условия Липшица, но так ничего и не получилось.

[Brukvalub]

qx87 в сообщении #1079440 писал(а):

Для первого случая я записал условия равномерной непрерывности (р.н.), и получается, что р. н-ость $h$ будет зависеть от соотношения $\delta$ и $\varepsilon$. Поскольку мы о нём ничего не знаем, то ответ "нет". А для остальных случаев тем более нет, потому что даны ещё более слабые условия.

Звучит примерно как: "раз мне не удалось проверить равномерную непрерывность, то ее и быть не может".

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.