2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Задачка по теорверу: игра
Сообщение10.01.2010, 01:28 


10/01/10
2
Задача сформулирована следующим образом:
Играем в игру. У нас есть некоторая сумма денег x. Игра состоит из большого количеста раундов. Каждый раунд мы должны ставить половину от всей текущей суммы. Если выигрываем - забираем удвоенное количество поставленных денег, если проигрываем - ставка теряется. Вероятность выигрыша 60%, вероятность проигрыша 40%.

К чему будет стремиться количество наших денег при большом количестве раундов? Варианты ответов.

1. К нулю.
2. Будет случайно колебаться около начального x.
3. К бесконечности.

Какой будет правильный ответ? Я считаю, что 3. Но говорят, что 1. Рассудите нас, приведите правильное решение, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение10.01.2010, 08:11 
Заслуженный участник


08/04/08
8206
Правильно действительно 1. Приведите Ваши рассуждения. Во сколько раз увеличивается сумма при выигрыше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение10.01.2010, 19:30 


10/01/10
2
Пусть X - начальная сумма.
МО после первого раунда EX=1.5*X*0.6+0.5*X*0.4=1.1X
После второго раунда X*(1.1)^2 и т.д...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение11.01.2010, 17:42 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Каждый раунд - это умножение текущей суммы на константу. За много раундов получится длинное произведение. Возьмите логарифм - это переводит произведение в сумму независимых (и одинаково распределенных) величин. Дальше подумайте сами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение17.01.2010, 11:08 


17/01/10
2
Эта задача получила для меня неожиданное продолжение.

Обозначим p=0.6 - вероятность выигрыша в раунде, N - количество отыгранных раундов

При $N \to \infty$ имеем $pN$ выигрышей и $(1-p)N$ проигрышей.

Cумма после N-го раунда игры $S_N = S_0 1.5^{pN}0.5^{(1-p)N}$

$\lim \limits_{N \to \infty} S_N = 0$ при $p < log_{3}2$

Но мат. ожидание $S_N$ равно $S_{0}(1.5p+0.5(1-p))^N$ и при p=0.6, $N \to \infty$ матожидание $S_N$ растёт до бесконечности.

Озадаченный этим фактом (матожидание $S_N$ бесконечно, а предел $\left{S_N\right}$ нулевой, я решил выписать матожидание по определению, как сумму компонент распределения, умноженных на вероятность каждой компоненты:

$S_{0}\sum\limits_{i=0}^N C_N^i p^{i}(1-p)^{N-i}1.5^{i}0.5^{N-i}$

Подстановка произвольно выбранных примеров N, p в обе формулы показывает, что матожидание одинаковое, независимо от того, какой формулой считать.

Теперь вопрос: Является ли нижеприведённая формула какой-то знаменитой известной формулой и как её доказать, не обращаясь к теории вероятностей:

$(Ap+B(1-p))^N = \sum\limits_{i=0}^N C_N^i p^{i}(1-p)^{N-i}A^{i}B^{N-i}$

На случайно выбранных A,B,N,p равенство у меня выполнялось, что оставляет надежду на справедливость формулы для всех A,B,N,p

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение17.01.2010, 11:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5391
Zyxel в сообщении #281152 писал(а):
Является ли нижеприведённая формула какой-то знаменитой известной формулой и как её доказать, не обращаясь к теории вероятностей

Да. Это бином Ньютона.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение17.01.2010, 11:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/09
1497
Бином Ньютона в чистом виде: $(Ap+B(1-p))^N=\sum\limits_{i=0}^N C^i_N (Ap)^i (B(1-p))^{N-i}$.
Доказывается, например, по индукции.

Опоздал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по терверу
Сообщение17.01.2010, 12:27 


17/01/10
2
Спасибо :)

Вот я склерозник, всё уже позабыл :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу: игра
Сообщение26.11.2015, 20:02 


01/09/14
10
Я придумал эту задачку, кстати 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка по теорверу: игра
Сообщение27.11.2015, 14:40 
Аватара пользователя


22/07/08
729
Одесса
talash в сообщении #1077075 писал(а):
Я придумал эту задачку, кстати 8-)


Похвально!

Теперь придумайте к ней правильное решение! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group