Произвол постоянных коэффициентов в линейном уравнении

[DLL]

Пусть у нас есть некоторое линейное ОДУ с постоянными коэффициентами:

$$y^{(n)}(x) + A_{n-1} y^{(n-1)}(x) + ... + A_1 y'(x) + A_0 y(x)= 0.$$

Рассмотрим преобразования которые сохраняют вид уравнения (в смысле линейность + постоянность коэффициентов).
Есть ли какой-нибудь общий результат по алгебраическим инвариантам коэффициентов $A_{n-1}, ..., A_0$?

[iifat]

А какие это будут преобразования? Решение уравнения — $\sum P_{k_i}(x)e^{r_ix}$. Какие преобразования сохраняют вид решения? Я вот так сходу могу назвать только линейные. Может, есть ещё какие мысли?

[Vince Diesel]

iifat в сообщении #1075694 писал(а):

А какие это будут преобразования? Решение уравнения — $\sum P_{k_i}(x)e^{r_ix}$. Какие преобразования сохраняют вид решения? Я вот так сходу могу назвать только линейные. Может, есть ещё какие мысли?

Пусть есть уравнение $y^{(n)}=0$. Его решения - многочлены $P_{n-1}(x)$. Тогда функции $P_{n-1}(e^{a t})$ будут решениями другоо ОДУ с постоянными коэффициентами. Например, уравнение $y''(t)-y'(t)=0$ после подстановки $y(x)=u(e^x)$ переходит в $e^{2x}u''(e^x)=0$.

[DLL]

iifat в сообщении #1075694 писал(а):

А какие это будут преобразования? Решение уравнения — $\sum P_{k_i}(x)e^{r_ix}$. Какие преобразования сохраняют вид решения? Я вот так сходу могу назвать только линейные. Может, есть ещё какие мысли?

Для общего вида линейного уравнения информация есть здесь на стр. 4.