Понимаем базис Грёбнера

[Abraziv]

Доброго времени суток. Решил разобраться, что такое базис Грёбнера и его приложения к решению систем.
Читаю брошюрку Аржанцева (мужик очень умный и интересный), столкнулся со следующим недопониманием:
Почему полученный в результате базис, является базисом Грёбнера, ведь не один из старших мономов идеала не делится не на один из старших мономов полученного базиса ?
Например:
$ab$ из $ab - c^2 - c$, не делиться ни на один из старших членов полученного базиса, а именно:
$a^2$ из $a^2-a-bc$
$b^2$ из $-b^2-b-bc+c^2+c$
$c^3$ из $-2c^3-2c^2$

[Xaositect]

Тут не завершен процесс построения базиса Гребнера. Для получения базиса Гребнера надо дальше искать зацепления многочленов $\bar{\bar{f_4}}$, $\bar{\bar{\bar{f_5}}}$, $\bar{\bar{\bar{f_6}}}$ с исходными многочленами и между собой.
Но для проверки критерия конечности и решения достаточно той части расчетов, которая приведена.

[Abraziv]

Спасибо за ответ. Автор чётко написал в базисе Гребнера лежат ... Выходит, что нет?

[Xaositect]

Ну если до конца досчитать, то они будут там лежать.
Да и вообще, если в базис Гребнера добавить что-нибудь из идеала, он все равно останется базисом Гребнера.

[Abraziv]

Есть ещё вопрос. При редуцирование, нужно обязательно выносить общий член за скобки, например я собираюсь редуцировать
$f_2 = -a^3 + a^2 + bc + c^2$ с помощью $f_1 = a^2 + abc$
обязательно ли перед редуцированием $f_2$ приводить к $f_2 = a^2(1-a) + bc + c^2$ или достаточно подставить вместо $a^3$?

[Xaositect]

Нет, не обязательно. Но если не выносить, то потом придется еще раз редуцировать тем же многочленом, это неэффективно.

[Abraziv]

Спасибо вам за ответы. Буду разбираться, сложно это очень.

[Abraziv]

Скажите пожалуйста.
Редуцирую $f_{10} = R_1^2 + R_2^2E_{19}+H_{19}$ многочленом $f_9 = R_1^2+R_2^2G_{15}+R_1E_{15}+H_{15}$, получаю
$R_1 + R_2^2E_{20}+H_{20}$
Можно ли из $f_{10}$ выразить $R_1$ через корень и опять редуцировать с $R_1 + R_2^2E_{20}+H_{20}$ ? В результате должен получить многочлен 4 степени относительно $R_2$. В итоге нахожу 4 $R_2$.
Не понятен так же один момент. Если всё же я не написал бред, получается следующее: найдя 4 $R_2$, далее я нахожу 4 $R_1$ из $R_1 + R_2^2E_{20}+H_{20}$, но из за того что $R_2$ в квадрате, знак будет постоянно теряться. Это нормально?

$R_1,R_2$ - неизвестные

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Наберите то, что было на картинке, пожалуйста. Исходное задание перестало быть известным.

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.