Влияние орбитального движения на вращение спутника

[Ingus]

Как влияет орбитальное движение спутника на его собственное вращение?
Допустим спутник движется по круговой орбите и вращается вокруг своей оси, направленной под углом к оси орбитального движения:
$R$- радиус орбиты,
$\Omega$- угловая скорость орбитального движения,
Как учесть орбитальное движение в уравнениях Эйлера:
$p=\dot{\psi} \sin{\theta}\sin{\varphi}+\dot{\theta}\cos{\varphi}$
$q=\dot{\psi} \sin{\theta}\cos{\varphi}-\dot{\theta}\sin{\varphi}$
$r=\dot{\varphi}+\dot{\psi}\cos{\theta}$

Иллюстрация взята из источника: С.М. Тарг. Краткий курс теоретической механики.
Вместо $\dot{\psi}$ в кинематические уравнения Эйлера следует подставить величину $\Omega + \dot{\psi}$.
Уравнения движения я вывел с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
Кинетическая энергия тела на орбите равна:
$2T=m\Omega^2 R^2$+(Ap^2+B q^2+C r^2),
Выкладки слишком объемны, чтобы здесь их приводить, но я проделал их держа в руках второй том Тиссерана, с. 374.
Однако Тиссеран отталкивается от непривычной формы записи кинематических уравнений Эйлера:
$p=\dot{\psi} \sin{\theta}\sin{\varphi}-\dot{\theta}\cos{\varphi}$
$q=\dot{\psi} \sin{\theta}\cos{\varphi}+\dot{\theta}\sin{\varphi}$
$r=\dot{\varphi}-\dot{\psi}\cos{\theta}$
И в итоге получает следующую тройку уравнений Эйлера:
$A \dot{p}+(C-B)qr=\frac{\sin{\varphi}}{\sin{\theta}}(\frac{\partial{U}}{\partial{\psi}}+\cos{\theta}\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}})-\cos{\varphi}\frac{\partial{U}}{\partial{\theta}}$
$B \dot{p}+(A-C)rp=\frac{\cos{\varphi}}{\sin{\theta}}(\frac{\partial{U}}{\partial{\psi}}+\cos{\theta}\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}})+\sin{\varphi}\frac{\partial{U}}{\partial{\theta}}$
$C \dot{p}+(B-A)pq=\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}}$
Я же взял привычные кинематические уравнения с "правильной" расстановкой знаков, и получил почти такие же уравнения, за исключением смены знаков в первых двух в правой части перед синусом и косинусом:
$A \dot{p}+(C-B)qr=\frac{\sin{\varphi}}{\sin{\theta}}(\frac{\partial{U}}{\partial{\psi}}+\cos{\theta}\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}})+\cos{\varphi}\frac{\partial{U}}{\partial{\theta}}$
$B \dot{p}+(A-C)rp=\frac{\cos{\varphi}}{\sin{\theta}}(\frac{\partial{U}}{\partial{\psi}}+\cos{\theta}\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}})-\sin{\varphi}\frac{\partial{U}}{\partial{\theta}}$
$C \dot{p}+(B-A)pq=\frac{\partial{U}}{\partial{\varphi}}$
Теперь потенциал.
В обозначениях приведенного рисунка связь системы координат связанной с осями инерции и орбитальной системы координат устанавливается матрицей поворота, она же матрица направляющих косинусов $\alpha_{ij}$:

$$\begin{bmatrix} \cos\psi \cos\varphi - \cos\theta \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\varphi - \cos\theta \cos\varphi \sin\psi & \sin\psi \sin\theta \\ \cos\varphi \sin\psi + \cos\psi \cos\theta \sin\varphi & \cos\psi \cos\theta \cos\varphi - \sin\psi \sin\varphi & - \cos\psi \sin\theta \\ \sin\theta \sin\varphi & \cos\varphi \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$$

Если текущий радиус-вектор спутника направлен по оси $x_1$, то нам потребуется первая строчка направляющих косинусов.
Потенциал спутникового приближения довольно легко записывается через направляющие косинусы, и немного сложнее через углы Эйлера...
$U=-\frac{\mu m}{R}-\frac{1}{2}\Omega^2 (A+B+C)+\frac{3}{2}\Omega^2 (A\alpha_{11}^2+B\alpha_{12}^2+C\alpha_{12}^2)$
Вернемся к кинетической энергии.
Абсолютная угловая скорость равна
$\omega_x=p+\Omega \alpha_{31}$
$\omega_y=q+\Omega \alpha_{32}$
$\omega_z=r+\Omega \alpha_{33}$
Теперь кинетическая энергия запишется:
$2T=\Omega^2 R^2+(A p^2+B q^2+C r^2)+2\Omega(Ap\alpha_{31}+Bq\alpha_{32}+Cr\alpha_{33})+\\ +\Omega^2(A\alpha_{31}+B\alpha_{32}+C\alpha_{33})$
Можно доказать (но я пока не могу), что существует интеграл вращательного движения и устойчивому движению соответствует минимум приведенного потенциала:
$W=-\frac{1}{2}\Omega^2 (A\alpha_{31}^2+B\alpha_{32}^2+C\alpha_{33}^2)+\frac{3}{2}\Omega^2 (A\alpha_{11}^2+B\alpha_{12}^2+C\alpha_{12}^2)$
когда главные оси инерции располагаются : А - по радиус вектору, В - по касательной, С- перпендикулярно плоскости орбиты.
А это значит, что орбитальное движение стремится поставить самую короткую ось инерции Земли С перпендикулярно плоскости орбиты, что и приводит к прецессии оси вращения Земли...

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»
Причина переноса: ладно уж, подобное упорство в пробивании стены лбом требует вознаграждения.

[Munin]

И?

[Ingus]

При каком таки взаимном расположении осей подвижной и орбитальной системы координат достигается минимум потенциальной энергии? Правильно ли я записал измененный потенциал?

[Ingus]

Можно ли утверждать, что причиной прецессии земной оси является орбитальное движение Земли?

[Dmitriy40]

Ingus в сообщении #1069832 писал(а):

причиной прецессии земной оси является орбитальное движение Земли

А разве причина не в наличии Луны?! Точнее несовпадения плоскости орбиты Луны с земным экватором?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения очередной задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.