Теория вероятностей, задача про хамелеонов.

[provincialka]

Don-Don в сообщении #1066912 писал(а):

Но как на пальцах пятиклассник бы решил -- не могу представить

Аналогично! Я до сих пор не уверена... Все не могу график зависимости от $p$ построить

-- 25.10.2015, 23:55 --

Кстати, у вас индексы в биномиальных коэффициентах перепутаны... Там внизу везде 4 должно быть.

-- 26.10.2015, 00:07 --

И еще есть опечатки
Вот, кажется, получился график:

[Don-Don]

Спасибо! А теперь -- нет опечаток? $6\left(C_4^3p^3 (1-p)+C_4^0(1-p)^4\right)\cdot \left(C_4^2 p^2 (1-p)^2\right)\cdot \left(C_4^1(p-1)^3p+C^4_4 p^4\right)$

[provincialka]

Есть одна (в последней скобке $p-1$ вместо $1-p$.

[iancaple]

Это марковская цепь с переходной матрицей 3 на 3.
6,умноженное на произведение трех элементов любой строки 4-й степени этой матрицы и будет ответ. Так как в строке будет одно из чисел- вероятность перехода за 4 шага в свое "предыдущее"(по правилу изменения) состояние, другое - в "последующее", третье -не изменить состояние в итоге 4 шагов. А с тремя хамелеонами должны были случиться 3 разные вещи, 6 -это число способов распределить между ними роли
Я тоже одно время думал, что для 5-го класса и ответ 1/3. А на самом деле сложный такой многочлен от p

[Don-Don]

provincialka в сообщении #1066931 писал(а):

Есть одна (в последней скобке $p-1$ вместо $1-p$.

Хорошо, спасибо!!!

[provincialka]

iancaple
О! Сошлось! Удивительно!

[Munin]

Как бы я считал, будь я пятиклассником.
Нарисуем все минуты для всех ящериц:
$\square\square\square\square$
$\square\square\square\square$
$\square\square\square\square$
В них надо поставить галочки в таких сочетаниях: в одной строчке одну, в другой две, в третьей три. Ну и осталось посчитать способы это сделать, и сравнить со всеми вообще расстановками галочек (которых будет, очевидно, $2^{12}$).

[provincialka]

Только надо еще как-то учесть число $p$, которое, вообще говоря, не равно 1/2.

[Munin]

Галочке приписывается множитель $p,$ пустому месту $1-p.$

[provincialka]

Munin в сообщении #1066972 писал(а):

в одной строчке одну, в другой две, в третьей три.

Ну, еще может быть ни одной (вместо 3) и четыре (вместо 1)... В общем, заплюхается пятиклассник )))

[--mS--]

А кто-нибудь вообще заметил, что требовалось найти вероятность, что изначально они были одного цвета, если в итоге оказались разного, а не наоборот?

[provincialka]

Думаете, ответ будет другой?
Например, в 2 раза меньше? Действительно, в начале процесса хамелеоны могли быть, скажем, все белые. Значит, за это время один "перекрасился" 0 (или 3) раза, другой -- 1 или 4 и третий -- 2 раза. Эту вероятность мы уже посчитали. И такая же для начального синего и начального красного.

Мы не учли, что хамелеоны стали не просто разных цветов, а именно таких, как сейчас. Но это надо еще додумать...

[iancaple]

Конечно, студенту надо еще сказать, что они явно давно свой хамелеоний образ жизни ведут. И если $0<p<1$, то по эргодичности вероятность застать любого в любом состоянии равна $\frac 13$. Потом по Байесу показать, что вероятности обратных переходов так же устроены. А в конце решения заметить, что случаи $p=0,p=1$ также вписываются в найденную формулу.

[Don-Don]

iancaple в сообщении #1067035 писал(а):

Конечно, студенту надо еще сказать, что они явно давно свой хамелеоний образ жизни ведут. И если $0<p<1$, то по эргодичности вероятность застать любого в любом состоянии равна $\frac 13$. Потом по Байесу показать, что вероятности обратных переходов так же устроены. А в конце решения заметить, что случаи $p=0,p=1$ также вписываются в найденную формулу.

А как показать по Байесу, что вероятности обратных переходов так же устроены. То есть вычислить все тоже самое только по Байесу? Что-то не очень помимаю....

-- 26.10.2015, 12:36 --

provincialka в сообщении #1067017 писал(а):

Мы не учли, что хамелеоны стали не просто разных цветов, а именно таких, как сейчас. Но это надо еще додумать...

То есть это может повлиять на вероятность?

[iancaple]

Don-Don в сообщении #1067047 писал(а):

А как показать по Байесу, что вероятности обратных переходов так же устроены.

Три гипотезы "состояние минуту назад было таким же", "было предыдущим", "было следующим", априорные вероятности их равны, вероятности переходов из них в фактически наблюдаемое состояние $1-p,p,0$ соответственно, и все подставьте в формулу Байеса