Доказательство предела функции через эпсилон-дельта

[Ward]

Если $\lim \limits_{t\to x}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$ и $f$ непрерывна $x$ тогда $\lim \limits_{f(t)\to f(x)}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$

Я знаю, что ключевым моментом тут является непрерывность $f$. Может ли кто-нибудь показать строгое доказательство через $?

Такое во многих книжках встречал, но увы доказать не могу.

[Slow]

Мне кажется что тут нужно воспользоваться теоремой о замене переменной в пределе.

[iancaple]

Немного изменим утверждение

Ward в сообщении #1062792 писал(а):

$\lim \limits_{f(t)\to f(x)}\dfrac{g(f(t))-g(f(x))}{f(t)-f(x)}=L$

на $\lim \limits_{y\to f(x)}\dfrac{g(y)-g(f(x))}{y-f(x)}=L$, тогда оно неверно

$$f(x)=\frac 1{\left[\frac 1x\right]},f(0)=0,g(y)=\sin\frac{\pi}y,g(0)=0$$

И значит, надо с такими случаями бороться

[grizzly]

iancaple в сообщении #1062918 писал(а):

тогда оно неверно

$$f(x)=\frac 1{\left[\frac 1x\right]},f(0)=0,g(y)=\sin\frac{\pi}y,g(0)=0$$

Что-то я не соображу, чему в Вашем примере равно $L$ из условия утверждения. Или я не все обозначения понял.

Впрочем, согласен в любом случае, что утверждение ТС неверно. И как оно может быть верно, если в во втором пределе $f(t)$ и $f(x)$ только наполовину связаны $\varepsilon$-$\delta$-связью?

[provincialka]

А что вообще означает запись $\lim \limits_{f(t)\to f(x)} $?

[iancaple]

grizzly в сообщении #1062924 писал(а):

Что-то я не соображу, чему в Вашем примере равно $L$ из условия утверждения.

Нулю, так как числитель тождественный ноль, а знаменатель отличен от 0 в проколотой окрестности нуля
Базу типа $f(t)\to a$ я формально читаю в смысле Зорича : элемент базы- это множество таких $t$, что...Но тогда, если $f$ имеет предел $a$ в двух разных точках (в моем примере этого нет), не будет выполняться определение базы, пересечение двух элементов базы может быть пусто. Надо что-то уточнять в условии.

[grizzly]

iancaple в сообщении #1062959 писал(а):

Нулю, так как числитель тождественный ноль, а знаменатель отличен от 0 в проколотой окрестности нуля

Ну да, конечно! А я засмотрелся в том, другом направлении и ... ну да ладно. Спасибо, что и там объяснили заодно.
Ждём уточнений.