Задача по квантовой механике

[tech]

Здравствуйте.
Помогите, пожалуйста, сдвинуться с места в следующей задаче:
Рассмотрите гармонический осциллятор в переменном однородном внешнем поле: $H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega x^2-F(t)x$, предполагая, что при $t\to-\infty$ осциллятор находится в основном состоянии и сила $F(t)$ зануляется при $t\to\pm \infty$. Вычислите вероятность $p$ того, что осциллятор останется в основном состоянии при $t\to \infty$ в общем виде. Вычислите эту зависимость для частного случая $F(t)=F_0 e^{-(t/ \tau)^2}$.

Вот что приходит мне в голову.
Пусть $H=H_0+W,\ W=-F(t)x$
Разложим $| \psi,t\rangle$ по собственным векторам невозмущенного гамильтониана $H_0$:

$$| \psi,t\rangle= \sum_{k} a_k(t) {|\psi_k,t\rangle},\ a_k(t)=\langle\psi_k,t|\psi,t \rangle, \ |\psi_k,t \rangle=e^{-i\omega_k t} | k \rangle$$

Подставляем $| \psi,t\rangle$ в уравнение Шредингера и пользуемся тем, что $|\psi_k,t\rangle$ – решения уравнения Шредингера с невозмущенным гамильтонианом. Вот что остаётся:

$$ i\hbar \sum_{k} \dot{a}_k(t) {|\psi_k,t\rangle}=\sum_{k} a_k(t) W {|\psi_k,t \rangle} \ (*)$$

Домножаем на $\langle 0|$ обе части уравнения (получаем зависимость искомой амплитуды вероятности от времени):

$$ \dot{a}_0(t)=-\frac{i}{\hbar}\sum_{k=0}^{\infty}a_k(t)e^{-i(\omega_k-\omega_0)}\langle 0|W|k\rangle$$

Если теперь расписать $W=-F(t)x$ через операторы повышения/понижения, то от суммы почти ничего не останется ($\alpha$ - просто константа):

$$ \dot{a}_0(t)=\frac{i}{\hbar} \alpha F(t)a_1(t)e^{-i(\omega_1-\omega_0)t} $$

Однако же ничего хорошего из этого вроде не выходит.
Ещё я пробовал домножить $(*)$ на $\langle l |$ и выразить $\dot{a}_l(t)$, но $\dot{a}_l(t)$ выражается через $a_{l-1}(t)$ и $a_{l+1}(t)$.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- запишите условие задачи в виде текста, а не картинки.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[amon]

tech в сообщении #1062320 писал(а):

Помогите, пожалуйста, сдвинуться с места в следующей задаче

Не знаю степени Вашей продвинутости. Проще всего это решается через функциональные интегралы (в одно действие), но, боюсь, Вы этой техники не знаете. Поэтому попробуйте перейти к операторам рождения-уничтожения для исходного осциллятора. будет чуть более громоздко, но тоже можно относительно легко пробиться.

[Alex-Yu]

tech в сообщении #1062320 писал(а):

Рассмотрите гармонический осциллятор в переменном однородном внешнем поле:

Задача о гармоническом осцилляторе, возбуждаемом внешней классической силой, решается точно, нужно лишь воспользоваться когеррентным (глауберговским) базисом. Ну и через континуальный интеграл, конечно (конт. интеграл оказывается гауссовым).

В принципе, наверное, и в фоковском базисе (что Вы пытались делать) тоже можно решить. Но тут нужно проявить изощренность, причем на вскидку не соображу как именно. Стандартный путь --- глауберговское представление.

[tech]

С континуальным интегралом пока не знаком, а через когерентный базис попробую сегодня.

[Alex-Yu]

tech в сообщении #1062441 писал(а):

а через когерентный базис попробую сегодня.

На самом деле подобным образом решаются и некоторые более сложные задачи. Подробности в книге Переломова "Обобщенные когеррентные состояния...". Но эту довольно простую задачку попробуйте решить самостоятельно, не заглядывая в книгу. И лишь ПОТОМ посмотрите эту книгу (хотябы "по диагонали").