2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 20:21 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
sergei1961 в сообщении #1060302 писал(а):
Поделитесь решением из Арнольда?
Того объяснения, которое сопровождает картинку, лично мне не хватило. Поэтому написал следующий текст.

Пусть $f(x)=x+o(x)$ и $g(x)=x+o(x)$ --- различные аналитические функции. Тогда
$$
 \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=1.
 $$
Действительно, поскольку
$$
 \frac{f(x)-g(x)}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=
 \frac{f(x)-g(x)}{x-f^{-1}(g(x))} \cdot
 \frac{x-f^{-1}(g(x))}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=A(x) \cdot B(x),
 $$
достаточно показать, что
$$
 \lim_{x \to 0} A(x)=\lim_{x \to 0} B(x)=1.
 $$

$1^\circ$. Имеем
$$
 A(x)=\frac{f(x)-g(x)}{x-f^{-1}(g(x))}=
 \frac{f(x)-f(f^{-1}(g(x)))}{x-f^{-1}(g(x))}=
 \frac{f(x)-f(y)}{x-y} \to f'(0)=1,
 $$
где $y=y(x)=f^{-1}(g(x))$.

$2^\circ$. Пусть $h(x)=g^{-1}(x)-f^{-1}(x)=ax^k+O(x^{k+1})$, $a \neq 0$. Тогда
$$
 B(x)=\frac{x-f^{-1}(g(x))}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=
 \frac{g^{-1}(g(x))-f^{-1}(g(x))}{g^{-1}(x)-f^{-1}(x)}=\frac{h(g(x))}{h(x)}=
$$
$$
 =\frac{ag(x)^k+O(g(x)^{k+1})}{ax^k+O(x^{k+1})}=
 \frac{a(g(x)/x)^k+O(g(x)^{k+1}/x^k)}{a+O(x)} \to \frac{a \cdot g'(0)^k}{a}=1.
 $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 21:09 


25/08/11

1074
Может быть к этому пределу с обратными функциями сразу правило Лопиталя применить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 21:27 
Заслуженный участник


20/12/10
9055
Правила Лопиталя маловато будет (порядок нуля разности $f(x)-g(x)$ может быть произвольным), надо в ряд разлагать. Я лишь формализовал план Арнольда. Может быть, можно предложить что-нибудь попроще, не знаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Хорошая иллюстрация разницы между геометрической и алгебраической интуицией. Мне объяснение Арнольда, например, понятней, чем вся эта мешанина символов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 23:39 


25/08/11

1074
А мне у Арнольда непонятно, почему второе отношение стремится к единице.

По Лопиталю, то есть не видно, как с таким пределом справиться при указанных ограничениях на функции
$$
\lim_{x\to 0} f'(f^{-1}(x))\cdot g'(g^{-1}(x)) \cdot \frac{f'(x)-g'(x)}{f'(f^{-1}(x))-g'(g^{-1}(x))}
$$
?
Два первых сомножителя вроде стремятся к 1, осталось с третьим справиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение07.10.2015, 23:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Кстати, а что если $k$ не существует?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Munin в сообщении #1060359 писал(а):
Кстати, а что если $k$ не существует?

nnosipov в сообщении #1060320 писал(а):
различные аналитические функции

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 00:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В нуле тоже аналитические?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 09:38 


25/08/11

1074
Всё-таки по Лопиталю можно добить до конца? Я правильно рассуждаю, что при наложенных ограничениях два первых предела выше равны 1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 10:02 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #1060368 писал(а):
В нуле тоже аналитические?

Атонет.

sergei1961 в сообщении #1060356 писал(а):
А мне у Арнольда непонятно, почему второе отношение стремится к единице.

Это потому, что рисунок у Арнольда несколько диковат. Надо было просто пересечь всё прямой под углом в 45 градусов, т.е. перпендикулярной к биссектрисе. Тогда крайние верхний и нижний отрезочки просто тупо равны, а поскольку все кривые прижимаются к биссектрисе -- расстояния между этими отрезочками много меньше их расстояний до нуля. Так что всё действительно очевидно; остаётся лишь доказать, что из последнего формально следует асимптотическое равенство отрезочков по вертикали, но это для аналитического случая уже всего лишь банальность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 10:36 


14/01/11
3031
sergei1961 в сообщении #1060422 писал(а):
Всё-таки по Лопиталю можно добить до конца? Я правильно рассуждаю, что при наложенных ограничениях два первых предела выше равны 1?

Достаточно заметить, что если в окрестности нуля $f(x)=x+o(x)$, то $f^{-1}(x)=x+o(x)$.

-- Чт окт 08, 2015 10:50:31 --

Хотя, как было справедливо замечено,
nnosipov в сообщении #1060329 писал(а):
порядок нуля разности $f(x)-g(x)$ может быть произвольным

Лопиталь в общем случае не спасёт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение08.10.2015, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Sender в сообщении #1060434 писал(а):
Достаточно заметить, что если в окрестности нуля $f(x)=x+o(x)$, то $f^{-1}(x)=x+o(x)$.

Вообще-то можно кое-что сказать и про последующие слагаемые разложения в ряд. Например, если $f(x)=x+ax^n + o(x^n)$, то $f^{-1}(x)=x-ax^n + o(x^n)$.
И более того, если $f(x) =x+a_2x^2+... +a_nx^n +o(x^n)$ и $f^{-1}(x) =x+b_2x^2+... +b_nx^n +o(x^n)$, то $b_n=-a_n+\varphi(a_2,..., a_{n-1})$.

Поэтому если у функций $f$ и $g$ первые $n-1$ коэффициентов совпадают, то разность $n$-ых коэффициентов для обратных отличается от "прямых" только знаком.

-- 08.10.2015, 18:50 --

Впрочем, геометрическое решение, конечно, красивее, особенно в изложении ewert

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение12.10.2015, 00:10 
Аватара пользователя


09/02/14
4
solaris63 в сообщении #1059857 писал(а):
Найти предел \lim\limits_{x\to0}^{} $ \dfrac{\tg(\sin x)-\sin(\tg x)}{x^7}.
Конечный ответ, вроде, \dfrac{1}{30}.


разложить функцию $f(x)= \tg(\sin x)-\sin(\tg x) $ в ряд Тейлора

$f(x)= \tg(\sin x)-\sin(\tg x) = \frac{x^{7}}{30}+\frac{29x^{9}}{756}+\frac{1913x^{11}}{75600}+\frac{95x^{13}}{7392}+O(x^{14})$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение12.10.2015, 00:14 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Ново. Неожиданно. Здравствуйте, Вольфрам Альфович.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел с тригонометрическими функциями
Сообщение12.10.2015, 00:42 
Аватара пользователя


09/02/14
4
Otta в сообщении #1061542 писал(а):
Ново. Неожиданно. Здравствуйте, Вольфрам Альфович.

Да. Производные довольно большие. Без вольфрама - долговато вычислять)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 31 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group