Алгебра в применении к видимому

[maximk]

Существуют ли коммутативные диаграммы для каких-либо множеств, для каких-либо отображений в видимом нами мире (речь не об идеализированном, хотя конечно здесь могут налететь философы с вопросами об идеализации)?
Существует ли в этом плане какая-нибудь (хотя бы) тривиальная группа?
Не считаете ли вы пример в книге "Алгебра" Ленга (стр. 20, конец параграфа о моноидах) идеализированным (упрощенная модель физического объекта, "мутки с существованием различных гомеоморфных поверхностей"), не подтверждающим существование моноидов в действительности?
Попытки. Считаю, что не найдется физического аналога алгебраических диаграмм, ибо в алгебре рассматриваются объекты, неизменяемые в разные моменты времени, чего не скажешь об объектах и субъектах "действительности".
По той же причине не получилось даже подобрать такой нейтральный элемент, чтобы выполнялась ассоциативность для какого-то закона композиции (этот закон также не нашел по той же простой причине, что нет возможности выполнить такую композицию дважды идентичным образом). В качестве такого нейтрального элемента пробовал рассматривать например человека (наивно и смешно?).
Пример из книги Ленга склонен считать идеализированным из-за внутренней топологии физических объектов, сложно даже представить себе такой класс гомеоморфных поверхностей в действительности. Да и изменение этих поверхностей с течением времени много усложняет задачу. В этом смысле считаю пример Ленга несоответствующим действительности.
Если кто-то сможет привести хоть один пример того, что алгебра имеет дело не только с математическими абстракциями (есть надежда, что это все же не так), то буду благодарен.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

maximk
Пожалуйста, создавайте темы, нуждающиеся в ответах, в корне раздела ПРР(М).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[arseniiv]

(К первоначальному короткому варианту сообщения. Если надумается что добавить, допишу.)

maximk в сообщении #1058552 писал(а):

в видимом нами мире

А вам, вроде бы, рассказывали уже про то, что не существует оснований никакую модель реальности называть самой реальностью. В итоге вы спрашиваете про какую-то модель, но про какую из многочисленных? Квантовая электродинамика устроит?

-- Пт окт 02, 2015 22:22:18 --

maximk в сообщении #1058552 писал(а):

чего не скажешь об объектах и субъектах "действительности"

Вы просто не туда смо́трите. Возьмите лагранжеву плотность Стандартной модели, например. Она никак от пространства-времени не зависит.

-- Пт окт 02, 2015 22:23:35 --

…как функцию, конечно.

[maximk]

Уровень знаний по физике у меня довольно скуден. Почему это плотность не зависит от свойств пространства, от времени? А даже если это и так, то какие должны быть функции, чтобы диаграмма была коммутативной?
А я модель реальности и не называю реальностью, поэтому и говорю о "видимом нами мире". Ну допустим, устроит квантовая электродинамика. Так, и что?
И что вы думаете по поводу тривиальной группы?

[arseniiv]

maximk в сообщении #1058579 писал(а):

Почему это плотность не зависит от свойств пространства, от времени?

Вот потому физики обычно зовут лагранжеву плотность $\mathcal L$ просто лагранжианом, хотя в точном словоупотреблении лагранжиан — это $L = \int\mathcal L\, d\mathbf r$. Лагранжева плотность не имеет отношения к чьей-нибудь плотности массы.

maximk в сообщении #1058579 писал(а):

А даже если это и так, то какие должны быть функции, чтобы диаграмма была коммутативной?

Надо сначала найти в рассмотрении категории. Я просто привёл пример насчёт чего-то, что не зависит от времени.

maximk в сообщении #1058579 писал(а):

И что вы думаете по поводу тривиальной группы?

Полно в КЭД тривиальных групп — для конкретности можно взять подгруппу преобразований Лоренца, например.

maximk в сообщении #1058552 писал(а):

Если кто-то сможет привести хоть один пример того, что алгебра имеет дело не только с математическими абстракциями (есть надежда, что это все же не так), то буду благодарен.

Любой такой пример будет сводим к чисто математическому.

[maximk]

И что в этой подгруппе преобразований Лоренца порядок выполнения композиции несущественен?

[arseniiv]

В тривиальной-то? А какой там порядок, если элемент один, и операции, даже захоти она быть неассоциативной и некоммутативной, судьба удовлетворять лишь соотношению $x * y = e$.

[maximk]

Но все же это есть группа, а значит должна удовлетворять условиям: наличие ассоциативной бинарной операциии, унарной операции взятия обратного элемента и выделенным нейтральным элементом. Интересно, что это за такой закон композиции $*$ и что за нейтральный элемент $e$, что $e*(e*e)=(e*e)*e, e*e^{-1}=e, e*e=e$? В отношении физических теорий пока что я могу понять только тот факт, что $e=e^{-1}$. Даже если $*$ означает отсутствие какого-либо преобразования вообще, то объект все равно не остается таким же, как был бесконечно малое время назад. Или мы не учитываем здесь течение времени? И если это так, то с какой это стати?

[Someone]

maximk, я не понимаю, чего Вы хотите. Есть физический мир, в котором мы что-то наблюдаем. И есть всякие модели того, что мы наблюдаем. Эти модели являются логическими конструкциями и существуют исключительно в человеческой психике (об инопланетянах говорить не будем). Или как у Платона — в особом "мире идей". Так что в физическом мире никаких чисел, групп, пространств и прочего выдуманного математиками (и не только математиками) вообще нет.

[maximk]

Someone, наличие идеи не влечет за собой тот факт, что она в корне неверна, не относится к объективной действительности.
Я понимаю о чем вы. Просто существуют модели, которые я еще как-то могу принять (хотя и понимаю, что это чисто логическая конструкция), но коне-что мне все же непонятно. Как можно рассматривать группы без изменения во времени? Хотя если взять в примере, обсуждаемом выше, за $e$ какое-либо преобразование (скажем, удар), а за закон композиции - отсутствие каких-либо действий вообще, то здесь понятно соотношение $e*e=e$ вне зависимости от времени (удар не перестает быть тем же ударом, если его ничто не изменяет). Следуя этой логике, группы существуют, но, видимо, настолько неинтересные, что использовать их физике не имеет смысла, если конечно не расширить инструментарий или все же не найти чего-нибудь более интересного, чего пока я сам сделать не могу.

[Otta]

maximk
Вот никак не понятно, что Вы хотите. Группа поворотов, например, Вас чем не устраивает?

[Someone]

maximk в сообщении #1058749 писал(а):

Someone, наличие идеи не влечет за собой тот факт, что она в корне неверна, не относится к объективной действительности.

Я что-нибудь подобное писал? Нет, не писал. Я писал только одно: эта самая "идея" не существует как физический объект. Она существует исключительно в психике человека. В физическом мире этой "идеи" нет. Это не мешает ей ("идее") быть моделью чего-то, благополучно существующего в физическом мире. С этой точки зрения Ваш первоначальный вопрос имеет однозначно отрицательный ответ: не существуют.

[arseniiv]

maximk в сообщении #1058729 писал(а):

Или мы не учитываем здесь течение времени? И если это так, то с какой это стати?

Тождественное преобразование Лоренца зависит от времени? С какой это стати? У меня складывается впечатление троллинга.

[maximk]

Otta, вы про идеализированный поворот (вводимый математиками)? Тогда да.
Someone, вы действительно так уверены в том, что идей не существует физически? Аргументируйте. Из того, что написали вы, этого вовсе не следует. И согласно вам можно подумать, что стульев не существует (материализованная идея), хотя предыдущее предложение можно понимать и не совсем в этом контексте.
arseniiv, а, то есть так взяли и свели значение времени к нулю так, будто его и не существует? Смело. Преобразование действует. Всякое действие происходит в рамках пространства-времени. Как же так можно отбросить все факты, влияющие на действие? Как-то это слишком несерьезно, не находите? Хотя ничто нам не мешает принять за постулат тот факт, что тождественное преобразование Лоренца не зависит от времени, само собой, эту существенное упрощает ситуацию.
Просто хочу разобраться в элементарных вещах (хотя как знать, насколько элементарных).