f(xy)=f(x)*f(y)?

[SamGold]

Вопрос возник по ходу попытки доказательства свойства математического ожидания произведения случайных величин быть произведением соответствующих мат. ожиданий для случая непрерывной случайной величины, т. е. $M(XY)=M(X)M(Y)$.
Как бы интеграл

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty}xyf(x,y)dxdy$$

легко бы взялся, будь я уверен, что подобное представление ( $f(x,y)=f_1(x)f_2(y)$ ) для произвольной функции 2-х переменных существует.

[Otta]

SamGold в сообщении #1058597 писал(а):

т. е. $M(XY)=M(X)M(Y)$.

А что, это всегда так, да?

[ex-math]

Исправляюсь

(Не открывать ради сохранения интриги)

Это только для независимых с.в. так. А для них $f (x,y)=... $

[Otta]

Ну вот. А интрига как же?

[SamGold]

Ответ вполне очевиден. Но без вас, господа, я бы ещё помучался бы с замыленым на сегодня глазом. Тут, в принципе, можно обойтись даже без анализа, опираясь лишь на свойства вероятности:
$M(XY)=P(XY<xy)=P(X<x)P(Y<y)=M(X)M(Y)$
Премного благодарен за столь оперативную помощь.

[Otta]

Пожалуйста, но Вы что-то путаете. Матожидание это никак не вероятность.

[SamGold]

я что-то совсем плох. Это ведь определение функции распределения...

[arseniiv]

SamGold
(Если вы ещё не открывали спойлер сохранения интриги выше.)
Возьмите величину, распределённую на $[-1;1]$ хотя бы равномерно, и её квадрат (т. е. произведение на себя). Как там с матожиданиями?

-- Сб окт 03, 2015 01:23:51 --

Хотя явственнее было бы взять величину, равномерно распределённую на $[-2;-1]\cup[1;2]$. Вот тут уже можно не предполагать насчёт матожидания квадрата.

[ShMaxG]

SamGold в сообщении #1058597 писал(а):

Вопрос возник по ходу попытки доказательства свойства математического ожидания произведения случайных величин быть произведением соответствующих мат. ожиданий для случая непрерывной случайной величины, т. е. $M(XY)=M(X)M(Y)$.

В общем случае свойства такого нет, достаточно взять $X=Y$ и $M(X)=0$, $D(X)>0$.

ex-math в сообщении #1058600 писал(а):

Это только для независимых с.в. так. А для них $f (x,y)=... $

Не только для независимых, а для не коррелированных, для которых по определению $M(XY)=M(X)M(Y)$. Есть зависимые случайные величины, для которых это равенство верное. Например, взять из равномерного распределения $\xi \in U(0,2\pi)$ и рассмотреть $X=\cos{\xi}$ и $Y=\sin{\xi}$.

Но если величины независимые, то конечно совместная плотность $f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$.

SamGold в сообщении #1058608 писал(а):

$M(XY)=P(XY<xy)=P(X<x)P(Y<y)=M(X)M(Y)$

Ну и здесь, конечно, ни одно равенство не верно даже для независимых $X$ и $Y$

Otta в сообщении #1058609 писал(а):

Матожидание это никак не вероятность.

Ну, бывает и такое, иногда

[ex-math]

ShMaxG
Да, Вы правы. Независимость здесь -- лишь достаточное условие.