2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение19.09.2015, 19:34 


31/05/14
58
Существует ли такое натуральное число $n $, что $ 3^n + 5^n $ делится на $ n^2 -25$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 00:09 


31/05/14
58
Интересно, что должно быть официальное решение этой проблемы, связь на этом сайте мертв!

http://crdo-bernoulli.kubannet.ru/fum.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 12:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
А что интересного может быть в официальном решении? Какое-нибудь решение этой задачи Вам известно? Я вот здесь topic100737.html намекнул, как эта задача решается: нужно вычислять соответствующие символы Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 18:39 


31/05/14
58
Я также думал, что это может быть решена путем символом Legender, но некоторые дело не хватает .....
Я слышал эту проблему был предложен Fedor.Petrov, как я знаю его, он может решить с элементарными методами

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 18:51 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Navid в сообщении #1055845 писал(а):
Я также думал, что это может быть решена путем символом Legender, но некоторые дело не хватает .....
Ну не знаю, у меня всё получилось. И ничего принципиально нового в этой задаче я не увидел.

Символ Лежандра (Якоби) --- вполне себе элементарная вещь. Почему-то я уверен, что те "юные математики", которые принимают участие в данном соревновании, знают про квадратичные вычеты. А если не знают, то им же хуже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 22:28 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Кстати, есть выглядящая похоже задача нахождения всех решений $(m^2-1)\mid 3^m+5^m$, которая до сих пор нерешена. Задача возникла из-за опечатки в популярной книжке, взвинтившей её сложность до открытой проблемы ;)
См. http://mathoverflow.net/questions/16341 ... onentials/

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 22:43 


31/05/14
58
возможно, я слеп! но ...
если $n$ даже, очевидно, что мы сделали! так как $ 3^n + 5^n $ есть простой делитель, который имеет напоминание -1 по модулю 4.

но, если $n$ нечетное, то можно установить $n= 2m+1 $., так как для нечетного каждого простого делителя $ 3^{2m+1} +5^{2m+1}$ мы должны -15, будучи квадратичным вычетом по модулю их, мы заключаем, что простые числа разделив его имеет остаток 1,2,4,8 модулю 15, и мы можем сказать, что $ 3^{2m+1} +5^{2m+1}$ делится на $ 4(m+3)(m-2) $
но, как я вспомнил некоторые дело не было полностью опровергнута!

-- 23.09.2015, 01:50 --

Спасибо Maxal! , Я вспомнил эту проблему! , Во втором издании книги автор, реформировал постановку задачи! , Это является причиной, почему я думаю, что Mr.Petrov, решить ее с элементарных решений, и предложил его на фестивале.
Но, к сожалению, решение не мог быть загрузки!

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение22.09.2015, 22:55 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Для нечётного $n$ исходная задача сводится к установлению, что $n\equiv \pm1\pmod{8}$ и вычислению символа Якоби $\left(\frac{-15}{(n^2-25)/8}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение23.09.2015, 02:43 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1055894 писал(а):
Кстати, ...
Да, занятная история.

-- Ср сен 23, 2015 06:49:01 --

maxal в сообщении #1055903 писал(а):
Для нечётного $n$ исходная задача сводится к установлению, что $n\equiv \pm1\pmod{8}$
Хм ... Я заметил, что $n$ должно быть вида $6m+3$. Надо будет перепроверить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение23.09.2015, 06:09 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1055926 писал(а):
Я заметил, что $n$ должно быть вида $6m+3$.

Одно другому не мешает, но тут важно избавиться от степеней 2-ки в модуле для последующего вычисления символа Якоби.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение29.09.2015, 18:59 


31/05/14
58
Я думаю, мы можем завершить свой подход с таким образом:

Легко видеть, что это соотношение выделяет для $p$ возможные остатки 1, 2,4,8 по модулю 15. Видим, что это просто все степени 2 по модулю 15. Значит, по модулю 15 каждое из чисел $n - 5$, $n + 5$ есть степень 2 (т.е. дает один из остатков 1,2,4,8), но среди них нет двух, отличающихся на 10. Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение30.09.2015, 08:00 


26/08/11
2057
Navid в сообщении #1057658 писал(а):
Значит, по модулю 15 каждое из чисел $n - 5$, $n + 5$ есть степень 2 (т.е. дает один из остатков 1,2,4,8),
Не значит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двадцать Третий Российский Фестиваль юных математиков
Сообщение30.09.2015, 19:30 


31/05/14
58
Конгруэнция берется по модулю 15, возможно, это лучше сказать, что оба $n-5$, $n+5$ являются conguent к 1,2,4,8 модулю 15. (Я использовал полномочия 2, потому что я думаю, что это имеет смысл, что поскольку все простые числа, делящие $n-5$, $n+5$ сравнимы с 1,2,4,8 модулю 15, ихний продукт так!)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group