"Доказуемое и недоказуемое" Манина

[maximk]

Кто-нибудь читал эту книгу? Какие вы сделали выводы по ее прочтении?
Сколько раз не пытался ее осилить, не получалось, ибо моя память не позволяет держать в уме столько определений, постоянно вылетают из головы, сколько бы их не перечитывал. Вот такие у меня отношения с математичекой логикой.
Прото занимаюсь аналитической теорией чисел, неплохо бы поразбираться в дебрях арифметики, но, похоже, без отзыва стороннего читателя в моем случае не обойтись.
Может быть найдется тот человек (или группа людей), кто в этой теме сможет на простом языке разъяснить костяк этой книги на основе нескольких базовых определений и теорем, необходимых для работы теоретико-числовику, который хочет не просто получать оценки остаточных членов, но и знать, когда это вообще возможно и какими методами.
Да и не только для работы в теории чисел хотелось бы разобраться.
Премного благодарен тем, кто не пройдет мимо, а поделится информацией.
Просматривая по нескольку раз эту книгу, заметил, что в основном она содержит сведения, не являющиеся необходимыми в главном вопросе, которому посвящена книга (имхо, некоторые темы можно опустить, хотя безусловно они расширяют кругозор понимания многогранности затрагиваемой проблематики).

[arseniiv]

maximk в сообщении #1052952 писал(а):

Сколько раз не пытался ее осилить, не получалось, ибо моя память не позволяет держать в уме столько определений, постоянно вылетают из головы, сколько бы их не перечитывал.

Видимо, вы не создали для них понятный голове образ. Это может быть из-за отсутствия нужной базы. Скажите, вы понимаете определения точно до каждой запятой (тогда с базой должен быть порядок) или нет?

[maximk]

arseniiv, с базой все нормально. На счет образов возможно вы правы, логические (как и алгебраические) термины не так хорошо укореняются в памяти, как, скажем, аналитические или теоретико-числовые (у меня лично). Может просто у меня такой психотип и ничего с этим не поделаешь (попытатья можно, но эффект недолгий, все вернется на круги своя).
Я лишь прошу объяснения у того, кто не пожалеет некоторого времени на изложение своей точки зрения.

[kp9r4d]

Изложу свою точку зрения, не будучи специалистом ни в чём вообще. Во-первых, мат.логика с аналитической теорией чисел не коррелирует вообще, и уж тем более она не отвечает на вопросы, когда и какими методами можно получать оценки остаточных членов. Во-вторых: что нужно делать, когда попадается учебник, который не нравится? Брать другой учебник, который, может быть, и понравится. Например есть Cori, Lascar. Mathematical Logic: A course with exercises. В-третьих, мне стиль изложения Манина конкретно в этой книге тоже не нравится, строгость строгостью, но доказывать отдельной теоремой, что в well-formed formula скобки действительно образуют правильную скобочную последовательность - это как-то перебор.

[Xaositect]

Я читал, но писать объяснение теорем Геделя и форсинга как-то не хочется.
Можно взять другую книжку какую-нибудь, про теоремы Геделя и Тарского любой учебник по матлогике, а про форсинг Кунена или Йеха.

По опыту, плотность новых понятий в логике и теории множеств примерно такая же, как в других разделах математики.

[maximk]

Xaositect, а что кроме метода форсинга и теорем Геделя и Тарского в книге Манина больше ничего особенного (по вашему мнению)?
kp9r4d, а вы действительно так уверены, что существуют несвязанные друг с другом математические теории? К примеру (не утверждаю, что посылка утверждения имеет место быть), если гипотеза Римана недоказуема, то в силу того факта, что ее истинность эквивалентна определенной оценке остаточного члена, то и эту оценку получить не удастся, как бы не ухитрялись в аналитических или элементарных методах оценивания, а ведь в такой ситуации искушенный математик, владеющий исключительно только знаниями, необходимыми для работы в области аналитической теории чисел, может попасть в такого рода "просак" (а то и того больше, заниматься этой "аналитической" проблемой всю жизнь, так и оставшись в неведении).
Вот так и живём.
Лично мое мнение, что через какое-то времени взгляд на аналитическую теорию чисел скорректируется (как это бывало и с другими разделами математики). Впрочем, не уверен, что этот взгляд на аналитическую теорию чисел распротранен среди математиков (конечно, "столь плотной" связи между аналитической теории чисел и математической логикой пока может и не наблюдается, как, скажем между теорией размерности и теории множеств, но это может быть вопросом времени, пока не занимаются решением соответствующих задач, где эта связь отчетливо видна). На счет методов оценивания отчасти согласен, но я велу речь о возможности оценивания вообще.
Мы ведь только "гости" в мире математики, хоть и непосредственно влияем на ее развитие.

Спасибо за литературу, учту.

[Xaositect]

maximk в сообщении #1054857 писал(а):

Xaositect, а что кроме метода форсинга и теорем Геделя и Тарского в книге Манина больше ничего особенного (по вашему мнению)?

Ну там много чего есть, например, обсуждение парадокса Сколема, глава про квантовую логику, замечательные лирические отступления Манина. Но основная цель книги все-таки доказательства недоказуемости, во второй главе - теорема Геделя, в третьей - теорема Коэна о континуум-гипотезе.

[maximk]

Спасибо. Думаю, что со временем таки осилю терминологию и поинтересуюсь этими вопросами.