Отображение пересечения/разности содержится в пересечении

[Lia]

math.fi
Обозначение $A\subset B$ значит, что множество $A$ содержится в множестве $B$, без уточнения, могут ли они быть равны или нет.

Вы почему-то исходите, похоже, из того, что это обозначение для строгого включения ("лежит, но не равно").

Еще немного в том же направлении, и тема пойдет в Карантин, как не имеющая попыток решения.

[provincialka]

Тут проблема, мне кажется, вот в чем. Вы привыкли, что в задачах задаются (в некотором роде) наиболее сильные из аналогичных утверждений. И если два множества всегда равны, то нет (вроде бы) смысла доказывать, более слабое утверждение о вхождении... Смысла, может, и нет, но и запрета нет.

Поэтому, доказав, что левая часть входит в правую, совершенно не обязательно показывать, что это вхождение не всегда сводится к равенству. Этого от вас не требуется.

Но если очень хочется показать, что равенства может и не быть -- придумайте контрпример! Только это будет уже другая задача!

[Anton_Peplov]

Пятый прокуратор Иудеи, всадник Понтий Пилат писал(а):

Боги, боги мои, яду мне, яду!..

math.fi
Сформулируйте утверждение "$A \subset B$" с использованием терминов "элемент" и "принадлежать". Только не увиливайте в сторону, а сформулируйте. Начнем с этого.

[provincialka]

Anton_Peplov
Если я правильно поняла, ТС может доказать вхождение левой части в правую. Ему только кажется, что надо как-то обосновать, почему в условии не стоит знак равенства. Что само по себе интересно, но не требуется в задаче.

[Someone]

С этими обозначениями действительно есть неоднозначность. Одни используют значок $\subseteq$ для нестрогого включения и значок $\subset$ для строгого (я сам обычно придерживаюсь этого). Другие используют значок $\subset$ для нестрогого включения, а значок $\subseteq$ вообще не используют. Посмотрев на формулировку задачи, я решил, что тут имеет место второй случай, потому что с первым пониманием утверждение будет неверным.

math.fi, где Вы взяли эту задачу? Проверьте, в каком смысле там используется значок $\subset$.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

В каком бы смысле не использовался здесь знак включения, любому, кто знает определения, не составит труда САМОСТОЯТЕЛЬНО разобраться, всегда ли имеет место строгое включение, или нет. Неужели для этого нужно 2 (ДВЕ) стр. горячих обсуждений?

[math.fi]

provincialka в сообщении #1051425 писал(а):

Тут проблема, мне кажется, вот в чем. Вы привыкли, что в задачах задаются (в некотором роде) наиболее сильные из аналогичных утверждений. И если два множества всегда равны, то нет (вроде бы) смысла доказывать, более слабое утверждение о вхождении... Смысла, может, и нет, но и запрета нет.

Поэтому, доказав, что левая часть входит в правую, совершенно не обязательно показывать, что это вхождение не всегда сводится к равенству. Этого от вас не требуется.

Но если очень хочется показать, что равенства может и не быть -- придумайте контрпример! Только это будет уже другая задача!

Скорее всего, только так и можно решить. Я лишь хотел формализовать как-то обратное доказательство, что могут существовать и поэтому включение. Это само по себе очевидно, но попытавшись формализовать, я этого сделать не смог.
П.С. Меня особенно это не парит. Математика работает как нужно и без этих формальностей.

[Anton_Peplov]

math.fi
Чтобы установить, что некоторое утверждение верно, нужно его доказать. Чтобы установить, что некоторое утверждение неверно, нужно привести контрпример. Например, чтобы утверждать, что все непрерывные функции ограничены, нужно доказательство. Но чтобы утверждать, что не все ограниченные функции непрерывны, достаточно рассмотреть одну (одну!) ограниченную разрывную функцию. Например, функцию Дирихле. Совсем детский пример: какое у Вас может быть "доказательство" того, что не все целые числа четные? И нуждаетесь ли Вы в каком-то "доказательстве", имея перед глазами число $1$?
Так что никакого доказательства того, что утверждение "для любой функции $f$ и любых подмножеств $A, B$ ее области определения выполняется $f(A\cap B) = f(A) \cap f(B)$" неверно, нет и никому не надо. Надо привести контрпример.

[grizzly]

Anton_Peplov
На мой взгляд, Ваши рассуждения выглядят излишне категоричными и почти все не выдерживают должной критики. На самом деле всё немного проще. Если стоит только цель найти ответ на заданный вопрос (решить задачу), то вполне естественно идти по пути наименьшего сопротивления и решать задачу наиболее оптимальным образом. Но в других случаях целью может быть поиск обобщенного утверждения или метода и такая цель вполне может быть достойной.
Для примера:

Anton_Peplov в сообщении #1051493 писал(а):

Совсем детский пример: какое у Вас может быть "доказательство" того, что не все целые числа четные?

Не менее детский ответ: можно привести доказательство того, что существует бесконечно много нечётных чисел. Вы ведь согласитесь считать это искомым "доказательством"? Да, это больше, чем спрашивалось. Но в зависимости от обстоятельств мы по разному ответим на вопрос: "лучше это доказательство или хуже, чем простой контрпример".

[Anton_Peplov]

grizzly

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1051500 писал(а):

Не менее детский ответ: можно привести доказательство того, что существует бесконечно много нечётных чисел. Вы ведь согласитесь считать это искомым "доказательством"?

Соглашусь, если Вы представите мне доказательство, что существует бесконечно много нечетных чисел, в котором не берется за исходную посылку, что существует хотя бы одно такое число. Иначе это доказательство не имеет силы без хотя бы одного примера нечетного числа, а коль скоро такой пример приведен, существование нечетного числа уже не нужно доказывать.

А вообще я недавно уже высказывался на эту тему подробнее и менее категорично. Не хотел самоцитироваться, но, видимо, придется:

Anton_Peplov в сообщении #1049967 писал(а):

Высказывания, как известно, делятся на общеутвердительные ("всякое $A$ есть $B$"), частноутвердительные ("существует $A$, которое $B$"), общеотрицательные ("никакое $A$ не есть $B$") и частноотрицательные ("существует $A$, которое не $B$"). Классический способ опровергнуть общеутвердительное высказывание - построить нужное частноотрицательное, оно же контрпример. Вот у нас $A$ - "ряд со стремящимся к нулю общим членом", $B$ - "сходящийся ряд". Гармонический ряд демонстрирует, что существует $A$, которое не $B$, и тем самым опровергает, что всякое $A$ есть $B$

Но если уж очень хочется коснуться левой ногой правого уха, можно попробовать доказать из посылки "всякое $A$ есть $B$" два противоречащих друг другу общеутвердительных высказывания. Например, взяв за посылку, что то всякий ряд, общий член коего стремится к нулю, сходится, доказать что всякая дифференцируемая функция непрерывна и одновременно, что всякая дифференцируемая функция имеет разрыв. Или еще какую-нибудь глупость в том же роде. Обычно этим никто не занимается, т.к. искать контрпримеры проще, чем выводить противоречащие друг другу общеутвердительные высказывания. Я даже не знаю, было ли в реальной истории математики что-нибудь опровергнуто именно так.

[gefest_md]

math.fi, if you want to find a counterexample for $f[A]\cap f[B]\subseteq f[A\cap B]$ then you still try to prove this: let $x\in f[A]\cap f[B]$ ... Then you can easyier find necessary $A$, $B$ and $f.$

[grizzly]

Anton_Peplov

(Оффтоп)

Хорошо, я понял Вас лучше. Может быть я приведу ещё такой пример, который прояснит и мою точку зрения.

Посмотрите, сколько есть различных, красивых и оригинальных идей доказательства теоремы Евклида о бесконечности простых. Примерно все они в каком-то месте содержат: "предположим, что есть только конечное число простых". И вот казалось бы -- мы можем всем этим "умникам" сказать: "не занимайтесь ерундой, посмотрите, как просто из этого получить доказательство методом Евклида -- ведь нам осталось только перемножить простые, добавить 1 и получить контрпример". Вот я и хотел предостеречь от такого универсального ответа на все случаи жизни. Где-то он уместен, но где-то нет. В конкретной ситуации я возражал только против уровня категоричности.

P.S. Особенно мне нравится это доказательство

[Anton_Peplov]

grizzly

(Оффтоп)

Возможно, я и впрямь выразился резковато, но мне подумалось, что это как раз не тот случай, когда надо растекаться мыслию по древу. ТС, кажется, вообще не знаком с практикой опровержения утверждений контрпримерами, так что именно этому его и нужно научить. А обсуждать всякое логическое барокко и рококо можно, когда такие вещи как контрпример становятся ясны и привычны, как свои пять пальцев. Иначе только запутаем человека, соревнуясь между собой в некатегоричности.

[Olivka]

math.fi в сообщении #1051005 писал(а):

Вроде бы понятно и очевидно, что в пересечение отображений могут попасть точки из $ f(A \setminus B)$ и $ f(B \setminus A)$

Ни о каком пересечении отображений вроде бы речи не шло. $f(X)$ - это образ множества. Вы знаете, что такое образ множества?

math.fi в сообщении #1051419 писал(а):

Я утверждаю что $f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) $

Пусть функция $f$ интересна тем, что отображает любое число в ноль. $A$ - отрицательные числа, $B$ - положительные, тогда эти два множества пересекаются по пустому. Тогда и $f(A \cap B)$ - пустое. Но с другой же стороны $f(A) \cap f(B)=\{0\} \cap \{0\}=\{0\}$. То есть пустое является подмножеством нолика. Нравится пример? Отсюда видно, что у Вас равенство неверное.

math.fi в сообщении #1051419 писал(а):

пока не показано, что могут существовать точки из правой части не принадлежащие левой - можно считать это справедливым.

Это можно считать всего лишь гипотезой. Вы же не просто пишете ерунду, Вы настаиваете на ерунде. Откуда такая уверенность?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

math.fi
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения исходной задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.