Несколько олимпиадных задач

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги !

Не могли бы Вы подсказать мне путь решения нескольких олимпиадных задач. Вот отда из них. Доказать, что для произвольных положительных чисел $a_1, a_2,\ldots, a_n$ выполняется неравенство

$$\frac{n}{\frac{1}{1+a_1}+\frac{1}{1+a_2}+\ldots+\frac{1}{1+a_n}}-\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}}\geqslant 1\,.$$

%
Выяснить, когда здесь достигается равенство.

[ИСН]

Про среднее гармоническое слышали когда-нибудь, например?
(Не то чтобы это здесь сильно помогало, но просто для правильной перспективы.)

[Evgenii2012]

Нет, к сожалению,не слышал. Подскажите, пожалуйста

-- 03.09.2015, 19:20 --

Ещё одна задача, если позволите. Найти все функции $f:{\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R},$ удовлетворяющие следующим условиям: a) $f(x+yf(x))=f(x)f(y)$ для всех $x, y\in {\Bbb R};$ б) $f$ можно представить в виде $f(x)=(\varphi(x))^2,$ $x\in {\Bbb R},$ где функция $\varphi$ имеет конечную производную в нуле.

[Someone]

Evgenii2012 в сообщении #1050249 писал(а):

функция $\varphi$ имеет конечную производную в нуле.

"В нуле" — это где $x=0$, или где $\varphi(x)=0$?

А что за олимпиада?

[Evgenii2012]

При $x=0.$ Всё это дело называется <<Вопросы 18-го всеукраинского турнира юных математиков имени профессора Ядренко>>.

[Lia]

Evgenii2012 в сообщении #1050283 писал(а):

<<Вопросы 18-го всеукраинского турнира юных математиков имени профессора Ядренко>>

Закрыто до ноября 2015 г.