Действительные числа. Доказательство свойства упорядоченност

[Pulseofmalstrem]

Доброе время суток.
Сегодня на моей первой в жизни лекции по матанализу лектор вводил действительные числа (через сечения рациональных чисел, как в Фихштенгольце). Когда он приводил доказательство свойства упорядоченности, я не успел корректно записать его док-во, поэтому я вынужден был составить свой вариант(благо свойство простое), его и прошу проверить на корректность.

свойство формулируется так:
$\forall x, y \in R, x \ne y \to (x < y) \cup (x > y)$
Пусть $x = (A|A'), y = (B|B')$
Докажем от противного, предположив что утверждение неверно. Тогда верно следующее:
$(A \subset B) \cap (A \supset B)$
Но тогда, $ A = B => x = y$
А значит эти числа равны, что противоречит изначальному условию.

[Brukvalub]

Я бы на экзамене обязательно попросил дать подробное доказательство вот этого пассажа:

Pulseofmalstrem в сообщении #1049736 писал(а):

Пусть $x = (A|A'), y = (B|B')$
Докажем от противного, предположив что утверждение неверно. Тогда верно следующее:
$(A \subset B) \cap (A \supset B)$

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Ну по выражения в скобках появляются из определения отношений больше, меньше для действительных чисел. А остальное по законам де Моргана:
Раз мы предположили, что верно обратное, то значит справедливо такое утверждение:
$\neg((x < y)\cup ( x > y)) = (x < y) \cap (x > y)$
Больше меньше местами поменялись, но это не суть важно (при этом помним, что $ x \ne y$, а значит $x \leqslant y -> x < y$)

[Brukvalub]

Pulseofmalstrem в сообщении #1049741 писал(а):

Brukvalub
Ну по выражения в скобках появляются из определения отношений больше, меньше для действительных чисел. А остальное по законам де Моргана:
Раз мы предположили, что верно обратное, то значит справедливо такое утверждение:
$\neg((x < y)\cup ( x > y)) = (x > y) \cap (x < y)$

А как определяются отношения "больше, меньше для действительных чисел"?

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Пусть $ x = (A | A'), y = (B|B')$, тогда если $A \subset B \to x < y$

[Brukvalub]

Похоже, вы неверно понимаете смысл доказываемого утверждения. Попробуйте записать вот это:

Pulseofmalstrem в сообщении #1049736 писал(а):

свойство формулируется так:
$\forall x, y \in R, x \ne y \to (x < y) \cup (x > y)$

не символами, а словами.

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Действительное число $a$, заданное сечением $(A | A')$, меньше действительного числа $b$, заданного сечением $(B|B')$, тогда и только тогда когда $A$ есть подмножество $B$.

[Brukvalub]

Я взял джек-пот! Вы и вправду не понимаете, что именно доказывал лектор!

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
Тогда это печально для меня. Придется лезть в учебник.

P.S. Так что тогда нужно доказать? Неужели нужно еще доказывать,что имеет место только одно отношеение порядка.

[Brukvalub]

Лектор доказывал, что из двух неравных действительных чисел всегда какое-то одно меньше другого.

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub
А я доказал что? Тот факт, что если два числа не равны,то либо одно больше другого, либо другое, либо они вообще одновременно больше и меньше друг друга? (Звучит немного глупо, но это птому что я запутался в собственных выкладках).

[Brukvalub]

Pulseofmalstrem в сообщении #1049758 писал(а):

Brukvalub
А я доказал что? Тот факт, что если два числа не равны,то либо одно больше другого, либо другое, либо они вообще одновременно больше и меньше друг друга? (Звучит немного глупо, но это птому что я запутался в собственных выкладках).

Вы не доказали ГЛАВНОГО: того, что два неравных числа вообще СРАВНИМЫ друг с другом!