удары, сильные разрывы, обобщенные решения

[Oleg Zubelevich]

В учебниках по физике условия на разрыве выводятся обычно по-странному, мягко говоря. В то время как на самом деле эти условия являются прямым следствием определения обобщенного решения соответствующих уравнений движения. Отметим, попутно, что уравнения теории удара в классической механике также являются следствием определения обобщенного решения и выводятся совершенно аналогично условиям на разрыве в МСС.


Выведем условия на разрыве для стационарного уравнения Эйлера и уравнения неразрывности.

Рассмотрим область $D=U\cup W\subset \mathbb{R}^3$.



В области $D$ стационарно движется жидкость. Зпишем уравнение Эйлера и уравнение неразрывности:

$$\rho v_i\partial_i v_k=-\partial_k p+\rho F_k,\quad \partial_i(\rho v_i)=0,\qquad(*)$$

где $\partial_i$ -- частная производная вдоль $i-$ой декартовой координаты $x_i$. По повторяющимся индексам суммирование. Массовая сила $F_i$ является гладкой функцией.
В интегральной форме уравнения (*) приобретают вид

$$-\int_D\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx=\int_Dp\partial_k\phi_kdx+\int_D\rho F_k\phi_kdx,\quad \int_D\rho v_i\partial_i\psi dx=0,\quad\qquad (**)$$

$ \phi_k,\psi\in\mathcal D(D),\quad dx=dx_1dx_2dx_3$.
В отличие от уравнений (*), уравнения (**) позволяют рассматривать разрывные в $D$ функции $\rho, v_k, p$, что и нужно в данной задаче.
Выполним преобразования, считая указанные функции гладкими в каждой из областей $U,V$.

$$\int_D\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx=\int_U\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx+\int_W\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx,$$

интегрируем по частям:

$$\int_U\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx=-\int_U\phi_k\partial_i(\rho v_iv_k)dx+\int_{\partial U}\rho v_iv_kn_i\phi_kd\sigma ,$$

где $n_i$ -- компоненты вектора единичной внешней к $U$ нормали, см картинку.
Аналогично,

$$\int_W\rho v_iv_k\partial_i\phi_k dx=-\int_W\partial_i(\rho v_iv_k\partial_i)\phi_kdx-\int_{\partial W}n_i\rho v_iv_k\phi_kd\sigma.$$

И тоже самое с правой частью первого уравнения системы (**).
Возвращая полученные выражения обратно в интегральное уравнение, получаем

$$-\Big(\int_{\partial U}\rho v_iv_kn_i\phi_kd\sigma-\int_{\partial W}n_i\rho v_iv_k\phi_kd\sigma\Big)=\int_{\partial U}p\phi_kn_kd\sigma-\int_{\partial W}p\phi_kn_kd\sigma.$$

Индексом "+" будем помечать предельные значения функций на границе раздела областей со стороны области $U$, а индексом "-" со стороны области $W$.
В силу того, что пробные функции можно брать любыми, из последнего интегрального равенства следует, что на общем куске границе областей $U,W$ верна формула

$$\boxed{-\rho^+(\boldsymbol v^+,\boldsymbol n)\boldsymbol v^++\rho^-(\boldsymbol v^-,\boldsymbol n)\boldsymbol v^-=(p^+-p^-)\boldsymbol n}$$

Рассуждая как и выше, из второго уравнения системы (**) находим

$$\boxed{\rho^+ (\boldsymbol v^+,\boldsymbol n)=\rho^-(\boldsymbol v^-,\boldsymbol n)}$$

Это и есть условия на сильном разрыве.

Пример. [МСС в задачах, под редакцией М.Э. Эглит]



На крышу дома вертикально падает дождь плотности $\rho$, со скоростью при подлете $v$. Угол наклона крыши $\alpha$. Считать процесс стационарным, скорость частиц ,стекающей по крыше жидкости постоянна. Найти положение границы, отделяющей воду от дождя. Атмосферное давление равно $p_a$, плотность воды $\rho_w$.

Будем искать обобщенное решение с разрывом в форме прямой, которая отходит от вершины крыши, единичная нормаль к прямой $\boldsymbol n$ торчит вверх. Значит область $W$ сверху, область $U$ примыкает к крыше.
Введем декартову систему координат $Oxy$ с началом в вершине крыши, ось $y$ смотрит вертикально вверх,

$$\boldsymbol v^+=u(-\cos\alpha \boldsymbol e_y+\sin\alpha \boldsymbol e_x),\quad \boldsymbol v^-=-v\boldsymbol e_y,\quad \boldsymbol n=\cos\gamma \boldsymbol e_y+\sin\gamma\boldsymbol e_x.$$

$\gamma$ -- угол наклона разрыва к оси $x,\quad \alpha+\gamma\le\pi/2$.
В задаче три неизвестных: $u,\gamma, p^+=p$. И три уравнения в рамке; $\rho^+=\rho_w,\quad p^-=p_a,\quad \rho^-=\rho.$

[Утундрий]

Переходов (*) --> (**) чуть больше одного.

[Oleg Zubelevich]

не понял

[Утундрий]

Добавьте под интегралы произвольный дивергентный член. Уравнения движения останутся прежними, а соотношения на разрывах поменяются.

Мы это, помнится, как-то так запоминали: Интегральная форма уравнений гидродинамики - это уравнения движения, плюс соотношения на разрывах! Чеканная такая формулировочка В общем, второе из первого выводить некорректно.

[Oleg Zubelevich]

Пока по-прежнему непонятно, напишите формулы. На всякий случай привожу строгие формулировки.

Пусть $M\subset D$ -- гладкое двумерное многообразие, которое делит область $D$ на подобласти $U,W$ так, что $D=U\cup M\cup W$ -- объединение дизъюнктное.

Теорема 1. Функции $p,\rho,v_k\in C^1(D)$ удовлетворяют уравнениям (*) в $D$ тогда и только тогда когда они удовлетворяют уравнениям (**) при любых $ \phi_k,\psi\in\mathcal D(D)$.

Теорема 2. Предположим, что функции $p,\rho,v_k:\overline D\to\mathbb{R}$ таковы, что $p,\rho,v_k\big|_{\overline U}\in C^1(\overline U)$ и $p,\rho,v_k\big|_{\overline W}\in C^1(\overline W)$.
Тогда если эти функции при всех $ \phi_k,\psi\in\mathcal D(D)$ удовлетворяют уравнениям (**) то верны формулы в рамках.

[Oleg Zubelevich]

уж чтоп совсем хорошо было. Функции $p^\pm,v_k^{\pm},\rho^{\pm}:M\to \mathbb{R}$ определяются следующим образом.
$p^+(x)=\lim_{n\to\infty} p(x_n),\quad \{x_n\}\subset U,\quad x_n\to x\in M,$
$p^-(x)=\lim_{n\to\infty} p(x_n),\quad \{x_n\}\subset W,\quad x_n\to x\in M,$

[Утундрий]

Ну, я просто (в свою очередь) не понимаю, как надо вывернуть себе мозги математикой, чтобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная. Могу, разве что, напомнить тот факт, что обычно "в учебниках по физике" начинают как раз (и правильно!) с интегральной формы. А в тех учебниках, в которых не начинают, в тех предполагают этот момент общеизвестным. Нечто вроде непрямой ссылки, если угодно. Кстати, вам наверняка попадалось утверждение, что дивергентная форма уравнений - это хорошо? Так вот, "хорошо" она ровно по той причине, что без дополнительных усилий приводит к правильным условиям Ренкина-Гюгонио соотношениям на разрывах.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #1047497 писал(а):

Ну, я просто (в свою очередь) не понимаю, как надо вывернуть себе мозги математикой, чтобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная. Могу, разве что, напомнить тот факт, что обычно "в учебниках по физике" начинают как раз (и правильно!) с интегральной формы. А в тех учебниках, в которых не начинают, в тех предполагают этот момент общеизвестным. Нечто вроде непрямой ссылки, если угодно. Кстати, вам наверняка попадалось утверждение, что дивергентная форма уравнений - это хорошо? Так вот, "хорошо" она ровно по той причине, что без дополнительных усилий приводит к правильным условиям Ренкина-Гюгонио соотношениям на разрывах.

Я просил формулы, а это философия. Пожалуйста вот это высказывание:

Утундрий в сообщении #1047442 писал(а):

Добавьте под интегралы произвольный дивергентный член. Уравнения движения останутся прежними, а соотношения на разрывах поменяются.

с формулами и подробными разъяснениями продемонстрируйте.

-- Пн авг 24, 2015 21:16:20 --

Утундрий в сообщении #1047497 писал(а):

чтобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная

а где я это отрицал?

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #1047502 писал(а):

Я просил формулы

Утундрий в сообщении #1047442 писал(а):

Добавьте под интегралы произвольный дивергентный член. Уравнения движения останутся прежними, а соотношения на разрывах поменяются.

Проработайте, пожалуйста.

-- Пн авг 24, 2015 22:18:09 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1047502 писал(а):

а где я это отрицал?

Там, где попытались вывести интегральную форму из локальной. Так делать нельзя, это очевидная ошибка. Собственно, только поэтому я и вмешался.

[Oleg Zubelevich]

Утундрий в сообщении #1047506 писал(а):

Проработайте, пожалуйста.

Утундрий в сообщении #1047506 писал(а):

Так делать нельзя, это очевидная ошибка

А, ну все ясно. Банальное незнание аппарата обобщенных функций.

[Утундрий]

Ну, это предсказуемая реакция. Что же, видимо, необходим третий.

-- Пн авг 24, 2015 22:47:08 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1047489 писал(а):

(Оффтоп)

Red_Herring
тут topic100313.html какие-то странные высказывания начались, может прокомментируете что-нибудь

Я не против

[Oleg Zubelevich]

Более внятная формулировка теоремы 2.
Предположим, что функции $p,\rho,v_k:\overline D\to\mathbb{R}$ таковы, что сужения $p,\rho,v_k,\partial_i p,\partial_i v_k, \partial_i \rho\big|_{ U}$ непрерывны и непрерывно продолжаемы в $\overline U$; сужения $p,\rho,v_k,\partial_i p,\partial_i v_k, \partial_i \rho\big|_{ W}$ непрерывны и непрерывно продолжаемы в $\overline W$.
Тогда если эти функции при всех $ \phi_k,\psi\in\mathcal D(D)$ удовлетворяют уравнениям (**) то верны формулы в рамках.

[Theoristos]

Oleg Zubelevich: я правильно понимаю, что $(\boldsymbol v^+,\boldsymbol n)$ - скалярное произведение?

Тогда, вам не кажется, что

$$\boxed{-\rho^+(\boldsymbol v^+,\boldsymbol n)\boldsymbol v^++\rho^-(\boldsymbol v^-,\boldsymbol n)\boldsymbol v^-=(p^+-p^-)\boldsymbol n}$$

даёт чёткую связь равенство касательных компонент скоростей $\boldsymbol v^{+,-}$ по обе стороны?
(собственно, это закон сохранения потока импульса, но, без некоторой оговорки)

По примеру - какой у вас вид решения при $\alpha=90$ градусов? И вообще как оно изменяется при $\alpha\to 90$
Как выглядят условия на верхушке лысины стоящего рядом хозяина дома?

[Red_Herring]

Утундрий
Какие дивергентных члены Вы имеете в виду? Oleg Zubelevich написал всё в дивергентной форме и не потому, что он какой-то математический извращенец, а потому что так делают все (и речь идёт не о каких-нибудь там алгебраических топологах, а о самых обычных прикладных математиках вроде С.К.Годунова, в лекциях которого в 60х я с этим впервые столкнулся). Вот посмотрим уравнение : $u_t+uu_x=0$; пока функция $u$ хорошая, оно имеет смысл, а если $u$ кусочно-гладкая, но с разрывами первого рода, то на разрывах она смысла не имеет, поскольку умножать $\delta(x-a)$ функцию на функцию с разрывом в $a$ нельзя. Поэтому исходное уравнение переписываем в виде $u_t+(u^2/2)_x=0$ и это уравнение уже имеет смысл везде, даже если функция $u$ просто $L^\infty$ (и даже м.б. хуже, например, $L^2$). Если мы предположим, что $u$ кусочно-гладкая, но с разрывами первого рода, то это последнее уравнение, понимаемое в смысле обобщённых функций влечёт условия на разрывах, а если она просто $L^\infty$, то оно всё равно имеет смысл, который не передать никакими условиями на разрывах, поскольку эти разрывы везде.

Конечно, разрешая уравнения в такой форме мы допускаем кучу решений, которые физики отвергнут (например ударные волны разрежения), но с этим математики справились тоже, через неравенство $(u^2/2)_t+(u^3/3)_x\le 0$, (домножая на неотрицательную основную функцию и интегрируя, получим $\le 0$).

Всё это ликбез. И место ему именно в ВП. Думаю, что sup объяснил бы лучше, но он опять AWOL

-- 24.08.2015, 16:02 --

Да, конечно, следует предупредить студентов, что записывая у-я в дивергентной форме и разрешая разрывные решения, мы открываем ворота для чёрт знает чего, и нужны "энтропийные" условия чтобы тех отсеять. Ни у что надо иметь дело с "правильными" уравнениями; если $u_t+uu_x=0$ "правильное", то $uu_t+u^2u_x=0$ нет, поскольку переписав их в дивергентной форме мы получим неэквивалентные ур-ния (но, строго говоря, правильными м.б. только у-я в дивергентной фпрме).

[Sicker]

Утундрий в сообщении #1047497 писал(а):

тобы отрицать тот довольно очевидный факт, что интегральная форма несёт больше информации чем локальная.

Как раз наоборот.

-- 24.08.2015, 23:31 --

Попробуйте уравнения Максвелла в интегральной форме решить, а не в локальной.