Вычисление интеграла в общем виде

[Fennec]

Привет, человеки. Собственно сабж: существует ли способ в общем виде взять интеграл? Только как-нибудь не в виде бесконечной суммы. Полистал учебники, поглядел в вики, но ничего отыскать не смог. В учебниках все решение сводится к приведению интеграла к некому табличному виду. Но вот в чем вопрос: ясное дело, что эти табличные значения не в капусте найдены были. Так откуда же они взялись?

[ИСН]

Вы производные искать умеете? Как они связаны с интегралами, знаете? Вот оттуда и взялись.

[Fennec]

То есть вы хотите сказать, что интегралы в общем виде не решаются в принципе?

[ИСН]

А также не варятся, не летают, и не делают многих других глаголов.

[Brukvalub]

Fennec в сообщении #1046729 писал(а):

То есть вы хотите сказать, что интегралы в общем виде не решаются в принципе?

Попробуйте начать с осмысления исходного вопроса: что значит "решить интеграл"? Например, функцию из какого множества функций вы собираетесь "решить интегралом" и какую функцию вы желаете видеть решением?

[Fennec]

Brukvalub
То есть по большому счету есть только возможность "запомнить" первообразную?

[ИСН]

Типа того. Плюс куча технических приёмов, позволяющих свести некие классы выражений к табличным.

[Brukvalub]

Fennec в сообщении #1046737 писал(а):

Brukvalub
То есть по большому счету есть только возможность "запомнить" первообразную?

Нет.
И я предложил вам подумать о вечном, а не о суете по вызубриванию таблицы умножения первообразных, а вы сворачиваете в сторону...

[Fennec]

Brukvalub в сообщении #1046740 писал(а):

Fennec в сообщении #1046737 писал(а):

Brukvalub
То есть по большому счету есть только возможность "запомнить" первообразную?

Нет.
И я предложил вам подумать о вечном, а не о суете по вызубриванию таблицы умножения первообразных, а вы сворачиваете в сторону...

Окей, это уже более приятная новость.

Цитата:

функцию из какого множества функций вы собираетесь "решить интегралом" и какую функцию вы желаете видеть решением?

Наиболее логичным кандидатом для решения интегралом конечно выглядит производная какой-нибудь функции. Решением естественно должна быть исходная функция. Но по идее же в мире математики подынтегральное выражение может быть совершенно произвольным.

[Brukvalub]

Намекну: поищите в сети на слова "всегда ли у элементарной функции есть элементарная первообразная".

[Fennec]

Brukvalub
Да, по данному запросу я наткнулся на некую дифференциальную теорию Галуа

Цитата:

важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от e^{-x^2}

И дает более точный ответ на вопрос о том какую функцию потенциально можно интегрировать, а именно функции

Цитата:

для которых введено дифференцирование

Но к сожалению в терминологии я не настолько силен, чтобы целиком одолеть статью википедии по математике, да и похоже что в ней все же не описано как же найти первообразную в общем виде.

[arseniiv]

Ну, если теорема Лиувилля об интегрировании элементарных функций не столь понятно выглядит, поищите где-нибудь алгоритмы, которыми пользуются системы компьютерной алгебры — обычно на них есть ссылки в документации. СКА, к тому же, и многие неэлементарные первообразные находят.

А если хочется найти интеграл вообще от любой интегрируемой в нужном смысле функции, надо сначала задаться вопросом о том как представить такую любую функцию. Их, как бы мы ни понимали интегрируемость, не меньше континуума, а разных термов от вычислимых действительных чисел и счётного числа каких-то функциональных символов всего счётно.

[Fennec]

СКА - это название алгоритма?

Может вы мне книжку какую-нибудь посоветуете, чем пробелы в знаниях закрыть? Потому что математика мне известна совсем чуть-чуть дальше школьного курса. Многие пишут, что простых и понятных учебников (по крайней мере на русском) по математике не существует, по этому крайне желательно посещать лекции (в моем вузе со второго курса математику у нас зачем-то изъяли, по этому не могу похвастаться широтой своих познаний). Насколько это вообще можно считать правдой? Можно ли самому выучиться по одним только книгам? Или может быть есть возможность посещать лекции в качестве вольного слушателя?

[Brukvalub]

Здесь неоднократно обсуждалась тема: "Можно ли выучить математику самостоятельно", повторяться нет смысла. Воспользуйтесь поиском по словам "выучить математику самостоятельно".

[g______d]

https://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm