Две квадратичные формы. Диагональный вид в ортонорм. базисе.

[kondrat1997]

Доброго времени суток!
Есть две квадратичные формы. Одна из них положительно определена, другая положительно полуопределена. Можно ли одновременно привести эти формы к диагональному виду в ортонормированном базисе? Пришла в голову идея как обычно привести к положительно определенную к единичному, а полуопределенную к диагональному, а затем использовать процедуру Грамма-Шмидта для ортогонализации полученного базиса относительно изначального скалярного произведения, но возникла трудность в доказательстве того, что формы не потеряют диагональный вид.

[мат-ламер]

kondrat1997 в сообщении #1046398 писал(а):

Есть две квадратичные формы. Одна из них положительно определена, другая положительно полуопределена.

Стандартная ситуация. См. теорему о приведении пары форм.

kondrat1997 в сообщении #1046398 писал(а):

а затем использовать процедуру Грамма-Шмидта для ортогонализации полученного базиса

А зачем нужно "затем"?

[Brukvalub]

Не все так просто! Если ВНИМАТЕЛЬНО посмотреть теорему о приведении пары квадратичных форм, то нетрудно увидеть, что в формулировке этой теоремы нет речи о сохранении матрицы третьей формы, задающей скалярное произведение.
Советую ТС попробовать опровергнуть его гипотезу.

[kondrat1997]

Цитата:

А зачем нужно "затем"?

Затем, чтобы

Цитата:

одновременно привести эти формы к диагональному виду в ортонормированном базисе

а вообще, матрица перехода при Грамме-Шмидте $U$ верхняя треугольная. Поэтому при переходе к ортонормированному базису форма может принять треугольный вид. $D'=UDU^{T}$

[Someone]

kondrat1997 в сообщении #1046695 писал(а):

Затем, чтобы

А Вам кто-то сказал, что это всегда возможно?

[kondrat1997]

Someone в сообщении #1046757 писал(а):

kondrat1997 в сообщении #1046695 писал(а):

Затем, чтобы

А Вам кто-то сказал, что это всегда возможно?

kondrat1997 в сообщении #1046398 писал(а):

Можно ли одновременно привести эти формы к диагональному виду в ортонормированном базисе?

kondrat1997 в сообщении #1046398 писал(а):

Можно ли

об этом то и речь. Вообще эта задача возникла из линейного дискриминантного анализа.

[Someone]

kondrat1997 в сообщении #1046398 писал(а):

Можно ли одновременно привести эти формы к диагональному виду в ортонормированном базисе?

Подсказка: ортонормированный базис, в котором заданная квадратичная форма имеет диагональную матрицу, состоит из собственных векторов матрицы этой формы.