О систематизации цилиндрических функций.

[Yarkin]

[quote="lofar в сообщении #202055"]
Кажется, я понимаю о чем хочет сказать Yarkin. Здесь, видимо, может идти речь о чем-то сродни расширению полей из алгебры. Класс функций, замкнутый относительно арифметических операций и композиции назовем хорошим. Класс всех полиномов хороший. Элементарные функции это тоже хороший класс. Теперь степенью функции $f$ над хорошим классом $A$ назовем такое минимальное $n$, что $f$ является решением линейного ДУ степени $n$ с коэффициентами из $A$.
Предмет обсуждения - возможна ли в математике составить таблицу функций, где бы каждая функция занимала бы соответствующее ей место. Что -то подобное таблице Менделеева. Там систематизация составлена по атомным весам. Чем руководствоваться в математике? Предлагаю начать с с порядка д.у. и хорошо известных цилиндрических функций. А, может быть это невозможно?
Цилиндрической функцией $n$ –го порядка назовем функцию, определяемую соотношением

$$ J_{\alpha_{r 1},\alpha_{r 2},…, \alpha_{r n}} = \sum_{m = 0}^\infty(-1)^m \frac {\left(2^{(-\frac n 2)}z\right)^{2m+\alpha_r}} {\prod_{j = 1}^n \Gamma (\alpha_{rj}+m+1)} \eqno (1.1) $$

, где

$$\alpha_{r 1},\alpha_{r 2},…,\alpha_{r n}, \alpha_{r j} = \frac {\alpha_r - \alpha_j} 2, j = 1,2,…,n \eqno (1.2) $$

- индексы цилиндрической функции, $ \Gamma (p) $ - гамма функция Эйлера.
При $n=2$ из (1.1) получим цилиндрическую функцию второго порядка

$$ J_{\alpha_{r \mu}}(\alpha_r;z)= \sum_{m = 0}^\infty (-1)^m \frac {\left(2^{(-1)} z \right)^{2m+\alpha_r}} {m! \Gamma (\alpha_{r\mu}+m+1)}, \eqno (1.3) $$

удовлетворяющей д.у

$$ z^2 w \prime \prime (z) + a_1 z w \prime (z) + (a_0+z^2)w(z) = 0 \eqno (1.4) $$

$\alpha_r и \alpha_\mu$ определяются из соотношений

$$ \begin{cases} \alpha_r + \alpha_\mu = 1 - a_1\\ \alpha_r \alpha_\mu =a_0 \end{cases}, \eqno (1.5) $$

Из (1.3) можно получить, широко используемые в математической физике, функции Бесселя произвольных индексов.
Аналогично при $ n=1 $ из (1.1) получим цилиндрическую функцию первого порядка

$$ J(\alpha_r;z) = \sum_{m = 0}^\infty(-1)^m \frac {\left(\frac z \sqrt2^\right )^{2m+\alpha_r}} {m!}, \eqno (1.6) $$

Из нее, в частном случае, можно получить, известную в теории вероятностей, функцию плотности нормального распределения.
Интересно, что д.у., которому удовлетворяет функция (1.6), формулы дифференцирования и рекуррентные соотношения для функции.(1.6), получаются соответственно из д.у. (1.4), формул дифференцирования и рекуррентных соотношений для функции (1.3) (не привожу в виде громоздкости)? при $a_1 =0$. Аналогичная связь существует и для функций при $n>2$.
Очевидно, имеются и другие классы функций, удовлетворяющих линейным д.у. с полиномиальными коэффициентами. Почему же их не систематизировать по порядку д.у. и индексов?

[sergei1961]

Обобщённые функции Бесселя давно известны. Читайте книги, например, I.Dimovski или V.Kiryakova.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не указан предмет обсуждения

Yarkin
Сформулируйте предмет обсуждения явно и понятно. Сейчас есть только вопрос

Yarkin в сообщении #1046343 писал(а):

Очевидно, имеются и другие классы функций, удовлетворяющих линейным д.у. с полиномиальными коэффициентами. Почему же их не систематизировать по порядку д.у. и индексов?

ответ на который "можно".
Поправьте цитату.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.