Знак в общей формуле Стокса

[Mikhail_K]

В учебнике Мищенко, Фоменко "Курс дифференциальной геометрии и топологии" общая формула Стокса (для дифференциальных форм) имеет следующий вид:

$$ (-1)^n\int\limits_M d\omega=\int\limits_{\partial M}\omega. $$

В чём здесь дело? Откуда $(-1)^n$?
Безусловно, надо смотреть определения и доказательства, чтобы это понять. Видимо, что-то где-то определяется не совсем стандартным образом. Но где конкретно? Учебник широко известный, поэтому надеюсь, что мне подскажут, где.

[мат-ламер]

А интересно, что в других книгах этого члена нет. Отсюда следует, что Мищенко и Фоменко есть что-то оригинальное. Может это связано с ориентацией точки.

[tolstopuz]

Если определять край многообразия, обнуляя последнюю координату, в формуле Стокса вылезает $(-1)^n$. Если обнулять первую - не вылезает.

[Mikhail_K]

Спасибо. Помогите теперь разобраться, как задание ориентации на крае многообразия связано с заданием ориентации на границах симплексов.

Ориентированный симплекс определяется порядком его вершин $[A_0,A_1,\dots,A_n]$. При взятии граничного оператора вершина грань $[A_1,A_2,\dots,A_n]$ берётся со знаком $+$, грань $[A_0,A_2,\dots,A_n]$ - со знаком $-$ и так далее; вообще, грань $[A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$ берётся со знаком $(-1)^i$.
Соответствует ли однозначно такому способу задания ориентации тот или иной способ задания ориентации края многообразия (с обнулением первой или последней координаты), и если соответствует, то какой именно?

Не знаю, как в трёхмерном случае, но в двумерном естественно понимать порядок вершин в треугольнике $[A_0,A_1,A_2]$ как порядок при обходе против часовой стрелки. Тогда положительным репером будет $\{\overline{A_0 A_1},\overline{A_0 A_2}\}$, или же, например, $\{\overline{A_0 A_1},\overline{A_1 A_2}\}$. Правильно ли я рассуждаю и ставится ли многомерным ориентированным симплексам так же в соответствие тот или иной репер?

Цель этого вопроса - я хочу, чтобы формула Стокса была без $(-1)^n$, но боюсь ошибиться при определении ориентации симплексов.

[Mikhail_K]

К сожалению, не могу разобраться, как согласуются (и согласуются ли вообще) два способа индукции ориентации с фигуры на её край:

- когда фигура - это многообразие с краем, в частности, когда это ориентируемая $n$-мерная поверхность в $\mathbb{R}^N$, и ориентация задаётся репером касательного пространства. в точке края берётся ориентирующий репер касательного пространства к поверхности, такой, чтобы первый вектор был направлен в сторону от поверхности, а остальные лежали в касательном пространстве края поверхности; тогда эти последние и образуют ориентирующий репер края.

- когда фигура - это $n$-симплекс, ориентация которого задаётся порядком вершин $A_0$, $\dots$, $A_{n-1}$. Тогда каждая его грань, определяемая отсутствующей в ней вершиной $A_i$, получает индуцированную ориентацию, которая совпадает с тем же самым порядком при чётных $i$ и противоположна при нечётных.

Ясно, что в обоих случаях ориентацию можно было бы определить и как-нибудь по-другому: например, в случае многообразия выкидывать не первый, а последний вектор ориентирующего репера поверхности. Какой из этих двух способов соответствует приведённому способу индукции ориентации для симплексов? Или здесь нет соответствия?

[Mikhail_K]

На самом деле, мои опасения ошибиться со способом индукции ориентации с симплекса на его грань, по-видимому, излишни.

Рассмотрим два способа такой индукции для симплексов и для многообразий, изложенные в предыдущем сообщении. Покажем, что они соответствуют друг другу. Для этого, ориентации симплекса $[A_0,A_1,\dots,A_n]$ поставим в соответствие ориентирующий репер $\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$.

Теперь произведём индукцию ориентации на грань, определяемую выкинутой вершиной $A_i$, обоими способами (как у симплексов и как у многообразий) и убедимся, что результат одинаков.
Как у симплексов: грань получает ориентацию $(-1)^i [A_0,A_1,\dots,A_{i-1},A_{i+1},\dots,A_n]$.
Как у многообразий: репер $\{\overline{A_iA_n},\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$ для исходного симплекса будет ориентирован так же, как исходный, при чётных $i$ и противоположно при нечётных; в то же время первый его вектор, будучи отложен в точке рассматриваемой грани, направлен в сторону от симплекса, а остальные лежат в рассматриваемой грани. Поэтому грань получает ориентацию, задаваемую репером $\{\overline{A_0A_n},\overline{A_1A_n},\dots,\overline{A_{i-1}A_n},\overline{A_{i+1}A_n},\dots,\overline{A_{n-1}A_n}\}$ при чётных $i$ и противоположную при нечётных. Пользуясь соответствием между заданием ориентации через порядок вершин и через ориентирующий репер, убеждаемся, что эта ориентация совпадает с полученной первым способом.