Безумства школьной математики.

[Nemiroff]

Dnclio в сообщении #1040381 писал(а):

В геометрии приводимые доказательства очень умозрительны

Это плюс. Потому что это и доказательство, и "пощупать".

[Dnclio]

Nemiroff в сообщении #1040383 писал(а):

Это плюс. Потому что это и доказательство, и "пощупать".

Точно, но что бы составлять доказательства, необходим критерий отличить хорошее доказательство от плохого. То, что умозрительно может представиться правильным для меня, может оказаться в общем случае неверно.

[Nemiroff]

И?

[nnosipov]

Dnclio в сообщении #1040381 писал(а):

В геометрии приводимые доказательства очень умозрительны - после такого обучения школьник вряд ли допустит возможность доказательства чего-нибудь подобного парадоксу Банаха-Тарского,

Загляните в задачник Шарыгина, что там не так с доказательствами? Без парадокса Банаха-Тарского обычный школьник вполне может прожить, да и необычный тоже (позже в университете расскажут).

-- Сб июл 25, 2015 18:09:37 --

Dnclio в сообщении #1040396 писал(а):

Точно, но что бы составлять доказательства, необходим критерий отличить хорошее доказательство от плохого.

Решайте побольше содержательных задач на доказательство, следуйте хорошим образцам для подражания. Чтобы, например, освоить метод математической индукции, не обязательно знать аксиоматику Пеано. На первое время содержательных примеров из брошюры Соминского "Метод математической индукции" вполне хватит.

[Dnclio]

nnosipov в сообщении #1040401 писал(а):

Загляните в задачник Шарыгина, что там не так с доказательствами? Без парадокса Банаха-Тарского обычный школьник вполне может прожить, да и необычный тоже (позже в университете расскажут).

Традиционный учебник, где не вводятся правила вывода для доказательств, о которых предполагается догадаться школьнику самому, видимо из самих текстов встречающихся доказательств. Без парадокса Банаха-Тарского школьник прожить то может, но вот допустить, что он может быть верен - к сожалению обычно нет, так как это прямо противоречит интуитивному подходу, которому его обучали в школе.

nnosipov в сообщении #1040401 писал(а):

Решайте побольше содержательных задач на доказательство, следуйте хорошим образцам для подражания. Чтобы, например, освоить метод математической индукции, не обязательно знать аксиоматику Пеано. На первое время содержательных примеров из брошюры Соминского "Метод математической индукции" вполне хватит.

Это хорошо работает для вычислительных задач, в которых результат может либо сойтись с ответом, либо нет. Для доказательств понять, насколько оно полное и верное - уже сложнее. Может быть матбои, о которых писалось выше, и являются хорошим альтернативным способом интуитивного освоения этой области, но даже они в школьную программу не входят - а программа считается достаточной для того, что бы после неё приступать к изучению вузовских курсов, почему-то построенных так, что предполагают способность студентов оценивать качество доказательств.

[grizzly]

Dnclio в сообщении #1040396 писал(а):

что бы составлять доказательства, необходим критерий отличить хорошее доказательство от плохого. То, что умозрительно может представиться правильным для меня, может оказаться в общем случае неверно.

А Вы знаете критерии отличия хороших доказательств от плохих в профессиональной математике? Я вот знаю, что достаточно надёжными считаются проверки доказательств с помощью специальных программ (там тоже встречаются совершенно разные подходы), другой критерий -- доказательство выглядит убедительным для математического сообщества. Можете посмотреть для общего развития достаточно популярные лекции Н.А. Вавилова и Ю.В.Матиясевича здесь, например. Чтобы не чувствовать себя обманутым через несколько лет. Могу посоветовать ещё поискать по теме что-то популярное у И.Лакатоса. А Вы сами хоть сколько-то интересовались такими вопросами или здесь это первая попытка?

Dnclio в сообщении #1040412 писал(а):

Может быть матбои, о которых писалось выше, и являются хорошим альтернативным способом интуитивного освоения этой области, но даже они в школьную программу не входят - а программа считается достаточной для того, что бы после неё приступать к изучению вузовских курсов, почему-то построенных так, что предполагают способность студентов оценивать качество доказательств.

По пути "пруверов", быть может, пойдут школьники будущего (или Вы как раз этого хотели? -- многие ведь считают, что родились, опережая эпоху), пока же можем говорить об убедительности. И вот это очень даже хорошо -- начиная со школы оттачивать навыки убедительности своих доказательств для аудитории. Тогда Ваши навыки должны расти вместе с ростом уровня аудитории.

[nnosipov]

Dnclio в сообщении #1040412 писал(а):

программа считается достаточной

Какая программа? Для чего конкретно достаточна?

Вот советские программы по математики действительно были достаточны для поступления и успешного обучения в университете, я на себе проверил.

[Red_Herring]

Dnclio в сообщении #1040412 писал(а):

Для доказательств понять, насколько оно полное и верное - уже сложнее.

Это, конечно, так. Но изучение математической логики и теории доказательств тут не сильно поможет.

А вот правильно написанные учебники—другое дело. Что я имею в виду? Сейчас часто стараются написать максимально приглаженное и самое короткое док-во. И часто пользы от него, как от "фаст-фуда". Однако следует не только доказать Теорему, но и обсудить идеи, лежащие в основе док-ва, и почему док-во работает. Более того, часто имеет смысл поместить две версии—одну "естественную", но с дырками, а второе подлиннее, с заполнением их. 30 лет назад такое было бы невозможно (ограничения на объем), но в онлайн публикациях это ограничение снимается.

[Dnclio]

grizzly в сообщении #1040418 писал(а):

А Вы знаете критерии отличия хороших доказательств от плохих в профессиональной математике? Я вот знаю, что достаточно надёжными считаются проверки доказательств с помощью специальных программ (там тоже встречаются совершенно разные подходы), другой критерий -- доказательство выглядит убедительным для математического сообщества. Можете посмотреть для общего развития достаточно популярные лекции Н.А. Вавилова и Ю.В.Матиясевича здесь, например. Чтобы не чувствовать себя обманутым через несколько лет. Могу посоветовать ещё поискать по теме что-то популярное у И.Лакатоса. А Вы сами хоть сколько-то интересовались такими вопросами или здесь это первая попытка?

Первая попытка, но в общем-то исторически родившаяся из того, что многие доказательства в пройденных в институте курсах оставляли ощущение того, что они не полны. Какие-то моменты в доказательствах считались очевидными, какие-то на мой взгляд очевидные начинали доказывать, при этом доказательство было не всегда очевидней исходного утверждения. Методов формализовать доказательство, что бы проверить его алгоритмическим способом, я как вчерашний школьник не знал. Математического сообщества тоже под рукой не было - были только такие же студенты с той же проблемой. Хотя некоторые считали её либо не существенной, либо считали, что заучить доказательство достаточно. Да и убедиться самому, хорошо ли доказательство, или поверить в то, что оно хорошее из-за того, что так считают другие люди - всё же разные вещи. Ссылку на лекции пока добавил в закладки, вечером посмотрю, пока времени на это нет.

-- Сб июл 25, 2015 16:13:57 --

nnosipov в сообщении #1040420 писал(а):

Какая программа? Для чего конкретно достаточна?

Вот советские программы по математики действительно были достаточны для поступления и успешного обучения в университете, я на себе проверил.

Для поступления достаточна, и обучения достаточна, раз уж большинство вузы заканчивает. А вот для плавного перехода после школы к обучению математике в вузе - на мой взгляд стандартной программы не достаточно. Как правило есть период адаптации к новому взгляду предмет, и срочного подтягивания по тем темам, которые в вузах начинают сразу использоваться, а в школах либо пропущены, либо упрощены до чего-то малополезного. По другим предметам, как мне кажется, это если и выражено, то гораздо слабее.

[BVR]

Ужос!
Напомню (ну или сообщу) ТС, что у Евклида не 5 аксиом, а пять потсулатов. А еще есть куча аксиом:
И если к равным прибавить равные, то получим равну;
И если о т равных отнять неравные, то получим неравные
И половины равных равны между собой
........
и т. д.
Далее. никто уже давно не изучает геометрию по аксиомам Евклида. Система аксиом в учебнике Атанасяна, в учебнике Погорелова эквиваленты системе аксом Гильберта.
Вы бы прежде чем критиковать - разобрались в предмете Вашей критики.

[LionKing]

BVR в сообщении #1041461 писал(а):

Ужос!

Научитесь правильно писать.

-- 31.07.2015, 16:42 --

BVR в сообщении #1041461 писал(а):

у Евклида не 5 аксиом, а пять потсулатов

В математике - аксиомы, в физике - постулаты.

-- 31.07.2015, 16:43 --

BVR в сообщении #1041461 писал(а):

Система аксиом в учебнике Атанасяна, в учебнике Погорелова эквиваленты системе аксом Гильберта.

Нет.

-- 31.07.2015, 16:45 --

BVR в сообщении #1041461 писал(а):

Вы бы прежде чем критиковать - разобрались в предмете Вашей критики.

Я то разбираюсь, а вам нужно познакомится с системой аксиом Гильберта и с учебником Погорелова (по которому я учился).

-- 31.07.2015, 16:49 --

grizzly в сообщении #1040352 писал(а):

Лично я склонен видеть у спрашивающих

А ну-ка, уточните у кого именно?

[Munin]

LionKing в сообщении #1041745 писал(а):

Научитесь правильно писать.

Это написано совершенно правильно (в соответствующем стиле). Если вы о чём-то не в курсе - не раздавайте высокомерных рекомендаций.

LionKing в сообщении #1041745 писал(а):

В математике - аксиомы, в физике - постулаты.

Эта терминология установилась недавно (рубеж 19-20 века), а у Евклида были именно постулаты. И аксиомы тоже, как вам напоминают. Полезно быть в курсе первоисточников, особенно если вы к ним апеллируете.

[LionKing]

Munin в сообщении #1041756 писал(а):

LionKing в сообщении #1041745 писал(а):

Научитесь правильно писать.

Это написано совершенно правильно (в соответствующем стиле). Если вы о чём-то не в курсе - не раздавайте высокомерных рекомендаций.

LionKing в сообщении #1041745 писал(а):

В математике - аксиомы, в физике - постулаты.

Эта терминология установилась недавно (рубеж 19-20 века), а у Евклида были именно постулаты. И аксиомы тоже, как вам напоминают. Полезно быть в курсе первоисточников, особенно если вы к ним апеллируете.

Это написано в стиле: "Ой, я не умею писать по-русски." (Да знаю я как пишут в этих ваших интернетах.) Считаете меня высокомерным, посмотрите на себя...
Я не читал "Начала" Эвклида. Да и смысла в этом нет. На мой взгляд это уход от основной темы. Возьмите Погорелова и внимательно просмотрите доказательства теорем оттуда, а потом откройте книгу Шарипова "Основания геометрии для школьников и студентов" и внимательно просмотрите доказательства теорем оттуда. Сравните. Сделайте выводы. Я утверждаю, что в школе учеников не учат нормально доказывать теоремы. И я прав. Я привел аргументы. Хотите поспорить?

[Oleg Zubelevich]

ex-math в сообщении #1039595 писал(а):

Надеюсь, Вы не хотите предложить программу а ля Вербицкий?

Нет, конечно, другой уровень совершенно. Вербицкий -- вполне профессиональный матемтаик, а это вообще не-пойми-кто.

[Munin]

LionKing в сообщении #1041952 писал(а):

Это написано в стиле: "Ой, я не умею писать по-русски."

ORLY?

LionKing в сообщении #1041952 писал(а):

Я не читал "Начала" Эвклида. Да и смысла в этом нет. На мой взгляд это уход от основной темы.

Сослались на них вы. Если вы не готовы отвечать за свои слова (стыдливо называя это "смысла в этом нет"), то не стоило с самого начала их упоминать.

LionKing в сообщении #1041952 писал(а):

И я прав.

Это утверждение лишает всякого смысла попытки разговаривать с вами.