Кавайные числа

[Ktina]

Назовём натуральное число кавайным, если при его делении на сумму его десятичных цифр получается остаток, равный квадрату частного.
Найти все кавайные числа и доказать, что других нет.

[hippie]

Ответ: 14.

Больше четырёх частное быть не может (иначе сумма цифр слишком большая).
Трём или четырём частное равняться не может (по модулю 9).
При частном равном двум остаток от деления суммы цифр числа на 9 равен пяти.

[Ktina]

hippie в сообщении #1037258 писал(а):

...
Трём или четырём частное равняться не может (по модулю 9).
...

Четырём - действительно не может, даже по модулю 3.
Трём - теоретически может, если число делится на 9.

[hippie]

Ktina в сообщении #1037270 писал(а):

Трём - теоретически может, если число делится на 9.

… а сумма его цифр не меньше восемнадцати (т.к. остаток равен девяти). Но тогда частное не меньше пяти.
Противоречие.

[Ktina]

hippie,
Спасибо!

[Ktina]

Если в условии этой задачи слово "квадрату" заменить словом "кубу", получится не менее интересная задача.

[hippie]

А что интересного?
Частное сразу равно двум (т.к. больше одного и меньше трёх). Остаток от деления числа на 9 равен одному.

Ответ: 28.

[Ktina]

hippie
Более высоких степеней, вроде, не получится...