Среднее измерений с погрешностями

[d_integral]

Доброго вечера!
Стыдно задавать такой безграмотный вопрос после хорошего универского курса статистики, но увы(( Это было давно и галопом.
Просто помню, что такое было, но не помню даже конкретно что забивать в гугл, чтобы найти.
Итак, есть серия значений для одной и той же величины (получена из предыдущего анализа), и для каждого из этих значений известна его собственная ошибка.
Как правильно искать среднее в таком случае? Ведь не просто же среднее арифметическое брать, оно же одно с большей точностью получилось, другое с меньшей..
По логике нужно найти что-то вроде весов, и каждое значение домножить на его вес, просуммировать, поделить на сумму весов. Но как правильно найти вес? Если буквально есть
$a_1 \pm s_1, a_2 \pm s_2, a_3 \pm s_3, a_4 \pm s_4, a_5 \pm s_5, ... $,
где $a_i$ - сами значения, $s_i $ - их индивидуальные ошибки, и мне нужно найти наилучшее (наиболее вероятное?) значение $a$ и соответственно к нему ошибку.

Первой мыслью было найти процент, который составляет каждая ошибка от "своего" значения. И эту долю взять в качестве веса. Можно ли так?

Если кто знает, что гуглить - скажите, погуглю с удовольствием!

[angor6]

Абсолютная погрешность суммы равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых...

[d_integral]

Это да...
Но что-то там было про косвенные измерения: что если величины в формуле известны с погрешностями, то нужно по каждой брать производную, домножать ее на погрешность этой величины, возводить в квадрат, затем квадраты складывать и извлекать корень.
В моем случае такой формулой является формула расчета среднего?

То есть пока я считаю среднее

$a = \frac{\sum\limits_{i}^{N}a_i}{N}$
,
то могу посчитать одну погрешность как отклонение

$s_1 = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i}^{N}(a_i-a)^2}{N-1}}$

и еще одну - учитывание ошибок самих значений:

$s_2 =\frac{\sqrt{\sum\limits_{i}^{N}(s_i)^2}}{N} $

Что из этого бред?

[Евгений Машеров]

Взвешенное среднее. Веса обратны $s^2$.

[d_integral]

Евгений Машеров, спасибо!
То есть можно считать

$w_i = \frac{1}{s_i}$,

и подставлять в

$a = \frac{\sum\limits_{i}^{N}w_i a_i}{\sum\limits_{i}^{N}w_i}$ ?

Меня смущает только то, что вес получается размерным, обычно он бывает что-то вроде безразмерной доли..

[Pphantom]

d_integral в сообщении #1034459 писал(а):

Меня смущает только то, что вес получается размерным, обычно он бывает что-то вроде безразмерной доли..

А он и есть безразмерный: весом в данном случае будет

$$ \frac{w_i}{\sum\limits_j w_j}.$$

[d_integral]

Pphantom, понятно, спасибо!

А точно вес будет обратно пропорционален ошибке $s$ ? Просто мне сейчас попалось в гугле, что обратно пропорционально ее квадрату (дисперсии).

-- 08.07.2015, 00:14 --

Вот тут - правильно?

[Александрович]

Если $s$ у вас ско, то его нужно возвести в квадрат.

[d_integral]

Александрович, да оно.
Ясно, спасибо еще раз!

[Александрович]

Кстати это строго доказывается. В смысле минимальная дисперсия для средневзвешенного среднего с такими весами.

[epros]

d_integral в сообщении #1034507 писал(а):

А точно вес будет обратно пропорционален ошибке $s$ ? Просто мне сейчас попалось в гугле, что обратно пропорционально ее квадрату (дисперсии).

Если сомневаетесь, то можно попробовать проверочное упражнение: Есть $n$ независимых нормально распределённых оценок одной величины с разными мат. ожиданиями $\bar{x}_1, \dots, \bar{x}_n$ и средне-квадратичными отклонениями $\sigma_1, \dots, \sigma_n$. По формуле Байеса найти итоговую апостериорную оценку данной величины. Ответом является перенормированное произведение $n$ функций $e^{-\frac{(x-\bar{x}_i)^2}{2 \sigma^2_i}}$. Отсюда несложно увидеть, каким образом находится среднее.

[Евгений Машеров]

Да, обратно дисперсиям, сорри за описку, исправил.
Дисперсия оценки вида $A_W=\Sigma w_i x_i$ при условии $\Sigma w_i=1$
равна $\sigma_w^2=\Sigma w_i^2 \sigma_i^2$
Используя множитель Лагранжа, запишем $L=\Sigma w_i^2 \sigma_i^2+\lambda(\Sigma w_i-1)$ и, продифференцировав по весам, получим
$2w_i\sigma_i^2+\lambda=0$, что и даёт нам веса, обратные дисперсиям $w_i=\frac {1/\sigma^2_i}{\Sigma_j 1/\sigma^2_j}$.
Дисперсия оценки тогда будет $\frac {\Sigma 1/\sigma_i^2}{(\Sigma 1/\sigma_i^2)^2}$