Множество совершенных чисел

[Ilya G]

Если множество совершенных чисел $ S $ (последовательность A000396) бесконечно, то существует предел $\lim_{n,m\rightarrow\infty} S_n/ \sum_{k=1}^{m}(2k)^{3}=1, S_n\in S} $ и выполняется неравенство $1/8< S_n/ \sum_{k=1}^{m}(2k)^{3}<1 $ для $n,m\in \left \mathbb{N}$,$(n>1,m>1)$, а также имеют место следующие гипотезы:

$1) \ln (S_n)<\sum_{k=0}^{\infty }n^{k}/(2^{k}k!), n\rightarrow \infty $


$2) S_n<\sum_{k=0}^{\infty } (\sqrt{(e^{n}})^{k}/k!, n\rightarrow \infty $


Доказательство утверждения $1/8< S_n/ \sum_{k=1}^{m}(2k)^{3}<1 $ для $n,m\in \left \mathbb{N}$,$(n>1,m>1)$ основывается на том факте, что все совершенные чётные числа можно представить в виде суммы кубов нечётных натуральных чисел.
$\sum_{k=1}^{m}(2k-1)^{3}=m^{2}(2m^{2}-1)$

Частичная сумма кубов натуральных чётных чисел, стоящая в знаменателе неравенства может быть представлена, как
$\sum_{k=1}^{m}(2k)^{3}=2m^{2}(m^{2}+1)$

Откуда:
$\lim_{m\rightarrow 1} (m^{2}(2m^{2}-1))/(2m^{2}(m^{2}+1))=1/8$
$\lim_{m\rightarrow \infty } (m^{2}(2m^{2}-1))/(2m^{2}(m^{2}+1))=1$


Правомерность гипотез (1-2) исходит из общей графической интерпретации.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: утверждения не доказаны

Ilya G
Сформулируйте предмет обсуждения явно.
Докажите всё, что Вы утверждаете. Все гипотезы опишите как гипотезы.
Сформулируйте утверждения корректнее. Например здесь:

Ilya G в сообщении #1032454 писал(а):

$\lim_{n,m\rightarrow\infty} S_n/ \sum_{k=1}^{m}(2k)^{3}=1, S_n\in \left \{ S \right \} $

Не определено, что такое $S$ и утверждение неверно при $n=1$.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.