Формулы Френе на римановом многообразии

[Oleg Zubelevich]

На $3-$ мерном римановом многообразии с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^3)$ и метрикой $g_{ij}(x)$ задана гладкая кривая $x(s)$.

Определение. Прараметр $s$ называется натуральным, если $g_{ij}(x(s))\dot x^i(s)\dot x^j(s)=1,$ точкой обозначена производная по $s$.
Далее будем считать, что кривая параметризована натуральным параметром.

Введем вектор $v(s)=\dot x(s)$ это касательный вектор к кривой и его длина равна 1.

Лемма. Вектор $v$ ортогонален вектору $\nabla_{\dot x}v=\dot v+\Gamma_{ij}^pv^i\dot x^je_p$.
Действительно, $0=\nabla_{\dot x}(v,v)=2(\nabla_{\dot x}v,v).$

Далее будем считать, что векоры $\nabla_{\dot x}v$ и $v$ линейно независимы.

Через $n$ обозначим единичный вектор, сонаправленный с $\nabla_{\dot x}v;\quad \nabla_{\dot x}v=k(s)n(s) $. По определению, $k$ это кривизна кривой. Мы получили первую формулу Френе.

Вектор $n$ перпендикулярен вектору $\nabla_{\dot x}n$. Доказательство аналогично лемме.


Введем вектор бинормали $b=v\times n$. Тогда $\nabla_{\dot x} n=\lambda v+\gamma b$. Умножим эту формулу скалярно на $v:\quad (\nabla_{\dot x} n,v)=\lambda$. С другой стороны $0=\nabla_{\dot x}(n,v)=(\nabla_{\dot x}n,v)+k.$
Поэтому $\nabla_{\dot x} n=-k v+\gamma b$. Функция $\gamma$ называется кручением кривой. Получена вторая формула Френе.


Далее $\nabla_{\dot x}b=(\nabla_{\dot x}v)\times n+v\times(\nabla_{\dot x} n).$ (Для вывода этой формулы нужно вспомнить, что такое ковариантное дифференцирование тензорных плотностей)
Подставляя сюда уже полученные формулы, находим $\nabla_{\dot x}b=-\gamma n$. Это третья формула Френе.

Все это обобщается далее по размерности многообразия.

[Munin]

Не хотите рассмотреть подмногообразие коразмерности 2 (а потом и $k$)?

-- 27.06.2015 14:37:25 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1031532 писал(а):

Все это обобщается далее по размерности многообразия.

Покажите, как обобщается вот этот вот пункт:

Oleg Zubelevich в сообщении #1031532 писал(а):

Введем вектор бинормали $b=v\times n$.

[Oleg Zubelevich]

Как строить репер Френе в многомерном случае объяснено здесь: post1031432.html#p1031432
вместе с этой веткой достаточно, что бы вы могли додумать детали. ортогонализация производится методом Грамма-Шмидта

[Munin]

Ну понятно, но это не позволяет писать "Все это обобщается далее...", и считать текст самодостаточным.

И всё-таки, для подмногообразий размерности больше 1 - вопрос интереснее.

[Утундрий]

Использование векторного произведения - ошибка. Всё можно сделать и без него и гораздо "общее".

[Oleg Zubelevich]

в случае, когда кривая начерчена на двумерном римановом многообразии, ее кривизна в смысле стартового поста совпадает с геодезической кривизной: $k=k_g$

[Oleg Zubelevich]

В стандартном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ кривая полностью (с точностью до движений) определяется своим натуральным уравнением т.е. заданными кривизной и кручением. Можно ли доказать что-то подобное если вместо $\mathbb{R}^3$ у нас риманово многообразие?

[Утундрий]

Наверное, если многообразие допускает хоть какое-то движение.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1032030 писал(а):

Можно ли доказать что-то подобное если вместо $\mathbb{R}^3$ у нас риманово многообразие?

В пределах каждой карты это сводится к случаю $\mathbb{R}^3.$

[Oleg Zubelevich]

не сводится

[Munin]

Ну так что, вторую квадратичную форму решили не изобретать? (И вместе с ней последовательность форм высших степеней.)

-- 29.06.2015 12:02:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1032055 писал(а):

не сводится

Должно сводиться.

Правда, тут есть нюанс. Риманово многообразие имеет гладкость порядка 2. А тут может потребоваться порядок 3.

[Oleg Zubelevich]

Похоже, что ответ на поставленный вопрос "вообще говоря, нет". Действительно, возьмем не трехмерное многообразие, а двумерный тор с метрикой идуцированной из стандартного $\mathbb{R}^3$. И возьмем две замкнутые негомотопные геодезические на этом торе. У этих геодезических разная длина, поэтому переводиться изометрией одна в другую не может. При этом у них одинаковое натуральное уравнение: $k(s)\equiv 0$. ( А можно взять одну замкнутую геодезическую, а другую незамкнутую на плоском торе, скажем. Результат тот же).
Видимо, для положительного ответа на вопрос надо накладывать условия на топологию многообразия и на метрику тоже, подозреваю.

-- Пн июн 29, 2015 12:52:59 --

а ведь и в $\mathbb{R}^2$ ,думаю, можно так задать метрику, что одни геодезические будут замкнутыми, а другие -- нет

[g______d]

А здесь изометрии вообще по делу? Может быть, правильное утверждение имеет вид "из любой точки в любом направлении выходит ровно одна кривая с данным натуральным уравнением"? Под направлением можно понимать заданный репёр Френе при $s=0$.

Т. е. исходная формулировка про движения $\mathbb R^3$ кажется просто совпадением, потому что у $\mathbb R^3$ много изометрий, а у произвольного риманова многообразия очень мало или даже вообще нет.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #1032073 писал(а):

Может быть, правильное утверждение имеет вид "из любой точки в любом направлении выходит ровно одна кривая с данным натуральным уравнением"? Под направлением можно понимать заданный репёр Френе при $s=0$.

ну это понятно, теорема существования и единственности

g______d в сообщении #1032073 писал(а):

А здесь изометрии вообще по делу?

а я не знаю как правильно переносить то утверждение

g______d в сообщении #1032073 писал(а):

у произвольного риманова многообразия очень мало или даже вообще нет.

есть! есть ! $\mathrm{id}$

-- Пн июн 29, 2015 13:06:23 --

а что вообще про группу изометрий риманова многообразия известно?

-- Пн июн 29, 2015 13:23:34 --
Наверное формулировать надо так. Есть риманово многообразие и его изометрия, переводящая точку $x_1$ с репером $R_1$ в точку $x_2$, репер $R_1$ при этом переводится в репер $R_2$ в точке $x_2$. Теперь через каждую из точек $x_1,x_2$ пропускаем кривую с одинаковыми кривизной и кручением и начальными реперами Френе $R_1$ и $R_2$ соответственно. Утв: Данная изометрия переведет кривую в кривую. Тривиально оказалось

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #1032069 писал(а):

При этом у них одинаковое натуральное уравнение: $k(s)\equiv 0$.

А, ну так ещё начальные условия задать надо: точку и направление кривой (включая весь базис "кручений старших порядков"). Это совсем банально, я не думал, что вы про это имеете в виду.

Oleg Zubelevich в сообщении #1032069 писал(а):

а ведь и в $\mathbb{R}^2$, думаю, можно так задать метрику, что одни геодезические будут замкнутыми, а другие -- нет

Надавите пальцем на $\mathbb{R}^2,$ так чтобы получился цилиндр с крышечкой. Геодезические по окружности этого цилиндра будут замкнуты, а все остальные - нет.

Oleg Zubelevich в сообщении #1032077 писал(а):

а что вообще про группу изометрий риманова многообразия известно?

В общем случае никаких изометрий. Дальше либо дискретные симметрии с какой-то произвольной группой (например, если многообразие - икосаэдр со сглаженными углами, то будет группа икосаэдра), либо существование векторов Киллинга.