Теоретическая задача по хаотическим отображениям

[x-crazer]

Всем доброго времени суток.

Есть такая теоретическая задача:
На основе сопряжения или полусопряжения с известными хаотическими отображениями показать хаос (дословная формулировка):

Отображение 1:
$x_{n+1} = 2 \cdot x_{n} (\mod 1), x \in [0;1]$
Отображение 2:
$x_{n+1} = \lambda \cdot x_{n} \cdot (1-x_{n}), \lambda =4; x \in [0;1]$

Насколько я понял смысл данного задания, необходимо доказать, что первое сопряжено со вторым, затем доказываем хаотичность логистического распределения при данном $\lambda$, а затем исходя из сопряжённости, будет следовать, что первое тоже хаотическое, так как второе хаотическое.

У меня два вопроса:
1) Как доказать сопряжённость?
2) Как доказать, что логистическое распределение является хаотическим при заданном лямбда?


P.S
Есть третий вопрос:
Правильно ли я понял условие задачи? :)

[Oleg Zubelevich]

x-crazer в сообщении #1029065 писал(а):

отображениями показать хаос

что такое "хаос" дайте определение

[x-crazer]

Oleg Zubelevich в сообщении #1029085 писал(а):

x-crazer в сообщении #1029065 писал(а):

отображениями показать хаос

что такое "хаос" дайте определение

Отображение $f: X \to X$ является хаотическим, если существенно зависит от начальных условий, транзитивно и периодические точки плотны в X.

[ИСН]

ОК. Теперь что такое полусопряжение, и как Вы доказываете хаотичность хотя бы для чего-нибудь реального?

[Otta]

x-crazer в сообщении #1029065 писал(а):

На основе сопряжения или полусопряжения с известными хаотическими отображениями показать хаос

Задание озадачивает, поскольку оба хаотических отображения - известны. Можно сопрячь с помощью тождественного. )) Ну если так нужно.

Хаотичность отображения удвоения доказывается непосредственно по определению, ничего там сопрягать не нужно.
Хаотичность логистического отображения - да, выбирается сопрягающее.

Можете посмотреть, как это делается, например, здесь. (Учебное пособие В.Ш. Бурд. Введение в динамику одномерных отображений). Параграф 2.3. Ссылка сразу на скачивание, файл в порядке.

Что такое полусопряженные отображения, я тоже не знаю, увы.

[g______d]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Topolog ... Definition например

[Otta]

Ясно, то есть сопряженность без условия обратимости "сопрягающего" отображения. Спасибо.

[Oleg Zubelevich]

по-моему, топологическая транзитивность следует из эргодичности. Если, конечно, мера, в смысле которой система эргодична, не обращается в ноль на непустых открытых подмножествах. Отображения из стартового поста эргодичны, как я помню

[dsge]

x-crazer в сообщении #1029065 писал(а):

затем доказываем хаотичность логистического распределения при данном $\lambda$, а затем исходя из сопряжённости, будет следовать, что первое тоже хаотическое, так как второе хаотическое.

Хаотичность 1-го доказать как бы проще, т.к. он изоморфен сдвигу Бернули с вытекающими последствиями.

[Otta]

Или возведению в квадрат на единичной окружности. Кому как нравится. )

[x-crazer]

Otta в сообщении #1029123 писал(а):

x-crazer в сообщении #1029065 писал(а):

На основе сопряжения или полусопряжения с известными хаотическими отображениями показать хаос

Задание озадачивает, поскольку оба хаотических отображения - известны. Можно сопрячь с помощью тождественного. )) Ну если так нужно.

Хаотичность отображения удвоения доказывается непосредственно по определению, ничего там сопрягать не нужно.
Хаотичность логистического отображения - да, выбирается сопрягающее.

Можете посмотреть, как это делается, например, здесь. (Учебное пособие В.Ш. Бурд. Введение в динамику одномерных отображений). Параграф 2.3. Ссылка сразу на скачивание, файл в порядке.

Что такое полусопряженные отображения, я тоже не знаю, увы.

Спасибо за наводку, отличная книга.
Как доказывать сопряжённость, я в целом нашёл. Затем покажу хаотичность первого, и всё должно получиться.
Спасибо за помощь!

[Otta]

Oleg Zubelevich

Вложение:

1.png

Каток, Хасселблат, красный. "Введение в теорию динамических систем"

[Oleg Zubelevich]

да вроде и так все понятно. Пусть $X$ -- пространство, наденное вероятностной мерой $\mu$ и топологией, причем мера такова, что не обращается в ноль на непустых открытых множествах (мы предполагаем, что соответствующая сигма-алгебра содержит все открытые множества). Раммотрим измеримое отображение $f:X\to X$ сохраняющее меру.

Утв. Если отображение $f$ -- эргодично то оно топологически транзитивно.

Доказательство. Предположим противное: найдутся два непустых открытых множества $U,V\subseteq X$ такие, что $f^n(U)\cap V$ -- пусто для всех $n=0,1,2...$.
Множество $M=U\cup f(U)\cup f^{2}(U)\cup...$ инвариантно: $f(M)\subset M$, следовательно, $M=X\pmod 0$. Следовательно, $V\cap M$ -- непусто. Противоречие.


тут ,видимо, еще надо в предположения добавить, что $f$ измеримые множества переводит в измеримые