Вычисление Интегралов по замкнутому контуру

[ewert]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1027910 писал(а):

то все эти полувычеты делаются честно ненамного дольше, чем ссылкой на лемму.

Они ни разу их не сделают, если про лемму хоть раз не услышат. Им просто в голову не придёт.

Не говоря уж о слушателях наших нонешних ублюдочных курсов.

-- Вт июн 16, 2015 22:09:59 --

(Оффтоп)

Otta в сообщении #1027895 писал(а):

мне он обычно был нужен гораздо раньше, чем случалась ТФКП, поэтому я извращалась, да.

А нафига, кстати?... -- сказали бы просто, что гляньте в справочник. Раз уж в курсе его не было; не разводить же тягомотину лишь ради его одного.

[Otta]

ewert в сообщении #1027912 писал(а):

(Оффтоп)

[off]

Otta в сообщении #1027895 писал(а):

мне он обычно был нужен гораздо раньше, чем случалась ТФКП, поэтому я извращалась, да.

А нафига, кстати?... -- сказали бы просто, что гляньте в справочник. Раз уж в курсе его не было; не разводить же тягомотину лишь ради его одного.

А нафига, кстати, отсылать в справочник студентов-математиков, не инженеров, ради результата, который доказывается со тщанием минут за 10, а без оного - за пять?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Помню аналогичный случай, когда на станции Бологое подрались продавцы шаурмы и шавермы.

[Sicker]

Извините, а с какого перепугу интеграл по малой полуокружности будет равняться половине от интеграла по малой целой окружности(вычет)?

[ewert]

В пределе при радиусе, стремящимся к нулю, будет. И, кстати, сама полуокружность будет тоже лишь в пределе.

В чём и радость бытия. Каждый день начинать с приговорок: эпсилон-дельта, эпсилон-дельта... И заканчивать ими же. Испытывая глубокое удовлетворение: посчитал же -- и ни разу не вспомнил ни одной "леммы"!

[ex-math]

Зачем эпсилон-дельта? Ряд Лорана и почленное интегрирование в уме.
Впрочем, это дело вкуса. Нравятся леммы -- пожалуйста.

[ewert]

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1028032 писал(а):

Ряд Лорана и почленное интегрирование в уме.

Вы явно спутали с основной теоремой о вычетах, где этого и впрямь довольно. А тут

ex-math в сообщении #1028032 писал(а):

Зачем эпсилон-дельта?

-- затем, что а) интегралы не равны нулю и б) не вполне полуокружность.

Так что если так уж хочется оптимизировать курс, то выкиньте из него в первую очередь именно основную теорему, эту же -- лучше не стоит.

Впрочем, я совершенно не возражаю против тренировок в доказательстве одной и той же теоремы по нескольку раз на дню. Тренировки -- они всегда полезны. Хотя бы первые пять-тридцать лет.

[ex-math]

(Оффтоп)

Не вполне полуокружность -- это Вы имеете в виду пример ТС? Тогда да, а я почему-то представлял полюс, лежащий на прямолинейном отрезке.
Ну и что, что интегралы не равны нулю. Здесь даже проще не ряд интегрировать, а выделить главную часть. Все остальное ограничено и по маленькому контуру будет маленький интеграл.

[Sicker]

ewert
А для поля 1-форм это уже не работает?

[Sicker]

ewert
А верно ли, если мы рассмотрим не полуокружность, а часть окружности? Интеграл по ней будет пропорционален ее доле?
И кстати ваша теорема не работает для функции $\frac{1}{z^2}$, ее первообразная $-\frac{1}{z}$, рассмотрим полуокружность бесконечно малого радиуса вокруг нуля в верхней полуплоскости, очевидно что интеграл по ней будет равен бесконечности, а не половинке от интеграла по целой окружности, те нуля, те ноль

[ewert]

Sicker в сообщении #1028286 писал(а):

А для поля 1-форм это уже не работает?

Не знаю.

Sicker в сообщении #1028568 писал(а):

А верно ли, если мы рассмотрим не полуокружность, а часть окружности? Интеграл по ней будет пропорционален ее доле?

В пределе -- естественно.

Sicker в сообщении #1028568 писал(а):

И кстати ваша теорема не работает для функции $\frac{1}{z^2}$,

Во-первых, она не моя. Во-вторых, вот ровно для этого и нужно оформлять подобного рода утверждения как теоремы: чтобы чётко понимать условия применимости и не спотыкаться на них. В данном случае -- что это верно лишь для простых полюсов.

[ex-math]

ewert в сообщении #1028586 писал(а):

ровно для этого и нужно оформлять подобного рода утверждения как теоремы: чтобы чётко понимать условия применимости и не спотыкаться на них.

А еще лучше просто понимать, что стоит за этой теоремой. У Вас с этим проблем нет, а вот у студентов, как мы видим, одно из двух -- либо понимание, либо заученная формулировка.

[ewert]

(Оффтоп)

Доброе слово в сочетании с пистолетом позволяет достичь гораздо большего, чем просто доброе слово. Если они хоть раз это утверждение услышат (даже не обязательно запомнят -- пусть хоть осадок в памяти останется), то у них при столкновении с задачкой способно возникнуть по меньшей мере предчувствие, в какую сторону думать. А так -- вряд ли.

-- Чт июн 18, 2015 23:57:51 --

(Оффтоп)

ex-math в сообщении #1028283 писал(а):

а я почему-то представлял полюс, лежащий на прямолинейном отрезке.

Это я виноват -- спровоцировал примером с синусом.