Функциональный ряд. Равномерная сх-ть

[lodVera]

Есть функциональный ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}nx\exp(-n^{5}x^{2})$, который нужно исследовать на равномерную сходимость.

Я знаю, что нужно решать через признак Вейерштрасса(подсказали). Первый вопрос: почему проще именно через него?

Итак нам нужно найти такой числовой ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}C_{n}$, который бы сходился и выполнялось бы неравенство $\left|nx\exp(-n^{5}x^{2})\right| \leqslant C_{n}$

Далее нужно найти мажоранту (а почему без нее обойтись нельзя?)
$(nx\exp(-n^{5}x^{2}))'_{x}=n\exp(-n^{5}x^{2})+\exp(-n^{5}x^{2})(-2xn^5)nx=\exp(-n^{5}x^{2})(n-2x^2n^6)=0$
отсюда следует, что$x^2=\frac{1}{2n^5}$, a $x=\sqrt\frac{1}{2n^5}$

Тогда $C_n$ можно записать так: $\frac{n}{\sqrt{2en^5}}$

Мажорирующий ряд $\sum\limits^{+\infty}_{n=1}\frac{1}{\sqrt{2en^3}}$ сходится, следовательно функциональный ряд сходится равномерно при $x \geqslant \frac{1}{\sqrt{2n^5}} $

Правильно ли решено?

[Otta]

А не подсказали, что исследовать на равномерную сходимость, не указывая множества - это патология?

[lodVera]

Otta в сообщении #1027852 писал(а):

А не подсказали, что исследовать на равномерную сходимость, не указывая множества - это патология?

Упс... забыла указать. исследовать на множестве вещественных чисел

[Otta]

lodVera в сообщении #1027850 писал(а):

следовательно функциональный ряд сходится равномерно при $x \geqslant \frac{n}{\sqrt{2en^5}} $

Тогда что тут должно быть написано?

[Slow]

lodVera
У вас при каких $x$ выполняется $\left|nx\exp(-n^{5}x^{2})\right| \leqslant C_{n}$?
А еще когда вы нашли экстремум желательно пояснить почему это именно максимум.

[lodVera]

Получается неравенство выполняется при $x \geqslant \frac{1}{2n^5}$ а функциональный ряд сходится на множестве вещественных чисел?

[Otta]

lodVera в сообщении #1027867 писал(а):

Получается неравенство выполняется при $x \geqslant \frac{1}{2n^5}$

lodVera
Как Вы узнаете, когда оно выполняется?