Вращающаяся система отсчёта : Помогите решить / разобраться (Ф) fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.
 
 Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 02:20 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Вопрос по ТО.
В общем есть система отсчёта вращающаяся с угловой скоростью $\omega$.
В ней задана система координат $(r,\theta,z,ct)$.
Где $z$ - ось вращения, а $r$ и $\theta$ - полярные координаты в плоскости вращения.
На сколько я понял метрический тензор в ней выглядит так:
$g_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & r^2 & 0 & \frac{\omega r^2}{c} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & \frac{\omega r^2}{c} & 0 & -(1-\frac{r^2 \omega^2}{c^2}) \end{pmatrix}$
А метрический тензор 3-х мерного пространства выглядит так:
$\gamma_{ij}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{r^2}{1-\frac{r^2 \omega^2}{c^2}} & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Соответственно есть 2 вопроса:
1)Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?
2)При $r=\frac{c}{\omega}$ знаменатель в $\gamma_{22}$ равен нулю, а при больших $r$ он отрицательный, что за фигня?
Книга, в которой я это всё вычитал:
Мёллер К. "Теория относительности".

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение15.06.2015, 02:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: не указана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 02:49 
Заморожен


24/06/14
358
qwe8013
Вы бы написали интервал в этой геометрии, в матричном виде в современных учебниках и статьях редко пишут. Не могу понять, где Вашей матрице временные компоненты $g_{i0}$? И по-моему, там еще двойки должны появиться у некоторых коэффициентов.
Теперь по вопросам:
1) А вообще метрический тензор 3-геометрии и не должен быть тождественно равен пространственной части $g_{ik}$. Ваша системе не статичная, вот какая штука. На эту тему есть целая глава в книге Мизнера-Торна-Уилера (3+1 разбиение). Меллера я читал очень давно, но могу точно сказать, что по части обозначений он серьезно устарел.
2) Допустим, Вы получили правильные выражения для компонент метрики. Что у нас будет в точке $r\omega=c$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 04:55 


30/05/13
253
СПб
qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):
2)При $r=\frac{c}{\omega}$ знаменатель в $\gamma_{22}$ равен нулю, а при больших $r$ он отрицательный, что за фигня?

На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):
1)Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?

Потому что, пространственная часть $4$-мерной метрики по определению есть метрика подмногообразия $x^0 -\operatorname{const}.$ Называется метрикой АДМ.

А метрика $\gamma_{ij},$ которая строится из метрики $g_{ij},$ есть метрика пространства, определяемого условием $d\tau=0,$ где
$$d\tau=\sqrt{1-\frac{w^2r^2}{c^2}} \left(dt-\frac{wr^2}{c^2\sqrt{1-\frac{w^2r^2}{c^2}}}d\varphi\right).$$
Это выражение не является полным дифференциалом, поэтому неинтегрируемо. Позволю себе сослаться на пост, где про эту вещь написано более подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Nirowulf
Осталось непонятным, зачем $\gamma_{ij}$ называется "пространственной метрикой".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 16:57 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Цитата:
На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 17:58 
Заморожен


24/06/14
358
qwe8013 в сообщении #1027366 писал(а):
Цитата:
На таком расстоянии линейная скорость вращения сравнивается со скоростью света, вращающаяся система отсчёта становится неприменимой. При $r > \frac{c}{w}$ такая СО не может быть образована реальными телами.

Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?


1) В точке $r\omega=c$ Вы встретили сингулярность метрики, - это граница области реалистичных предсказаний в данной системе координат. Какая эта сингулярность? Простым преобразованием координат она убирается. Значит сингулярность эта не физическая, а координатная.

2) А вы найдите в данной системе координат траекторию тела движущегося от центра диска к его границе. Представьте, что Вы наблюдаете за данным процессом, сидя в середине дискс. Представим, что по мере приближения радиус-вектора пробного тела к значению $c/\omega$ оно начинает испускать фотоны. С какой частотой они к Вам приходят? И напишите сюда, какие неприятности Вы встретите. (К сожалению времени расписать сегодня нету, но в любом случае думаю, что Вам следует попытаться сделать этот простой расчет самостоятельно).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 18:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
qwe8013 в сообщении #1027173 писал(а):
Почему для 3-х мерного пространства метрический тензор не равен просто пространственной части 4-х мерного?
Так случается, когда $g_{0i} \neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение15.06.2015, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
qwe8013 в сообщении #1027366 писал(а):
Но ведь тела за этим радиусом продолжают существовать.
Ну или например если от центра системы отсчёта перпендикулярно оси $z$ начнёт двигаться тело, то после удаления его на расстояние $ > \frac{c}{w}$ оно просто бесследно исчезнет, или как?


Сможет ли оно двигаться вдоль радиуса?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:04 
Аватара пользователя


16/11/12
55
Kirill_Sal
Цитата:
Представим, что по мере приближения радиус-вектора пробного тела к значению $c/\omega$ оно начинает испускать фотоны. С какой частотой они к Вам приходят?

Если я правильно понял нужно использовать формулу для релятивистского эффекта Доплера, видимо эту: $\omega=\omega_0\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1+\frac{v}{c}\cos{\theta}}$, где $\theta$ - угол между направлением на источник и вектором скорости в системе отсчёта приёмника.
С течением времени скорость объекта будет увеличиваться и стремиться к скорости света, и судя по этой формуле частота будет падать до нуля.
Но вроде бы если ночью выйти на улицу и начать крутиться вокруг своей оси, то звёзды с неба не пропадают, где я несу чушь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:30 
Заморожен


24/06/14
358
qwe8013
Вы извините, но бездумно пользоваться табличными школьными формулами для таких задач - это плохой показатель для человека, начинающего изучать ОТО. Начнем хотя бы с того, для случая какого движения справедлива написанная Вами формула?
Полистайте учебник. Лучше возьмите не Меллера, а хотя бы ЛЛ2, чтобы быстро сориентироваться в ф-лах. Для понимания читать надо Мизнера-Торна-Уилера.
Я с Вами обсудить правильные формулы и саму задачу смогу только завтра после экзамена, так что если Вам никто другой не уделит времени, то до завтра.

-- 16.06.2015, 01:33 --

qwe8013 в сообщении #1027567 писал(а):
Цитата:
Но вроде бы если ночью выйти на улицу и начать крутиться вокруг своей оси, то звёзды с неба не пропадают, где я несу чушь?

Что ж, разгонитесь до ультралятивистских скоростей, чтобы понять, что ничего увидите, раз не хотите верить формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:46 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
qwe8013
В ТО можно реализовать любую систему отсчета, даже образованную сверхсветовыми телами.
Вы уже привели пример с вращением головы и сверхсветовым перемещением звезд :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:49 
Заморожен


24/06/14
358
Sicker
:facepalm: Ну зачем Вы влезаете, не понимая о чем речь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:54 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
Kirill_Sal
Так введите меня в тему!

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающаяся система отсчёта
Сообщение16.06.2015, 01:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Sicker в сообщении #1027594 писал(а):
В ТО можно...

Нет такой теории.

Sicker в сообщении #1027594 писал(а):
...даже образованную сверхсветовыми телами.

Нет таких тел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 104 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 7  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group