Восстановить элементы матрицы

[egamathforum]

Как восстановить элементы матрицы в заданном базисе, если известны её собственные
числа и собственные вектора? Всегда ли решение будет единственным?

[mihailm]

Попытки?

[egamathforum]

С восстановлением все вроде ясно.
Вопрос с единственностью.

-- 14.06.2015, 21:12 --

Предполагаю что речь о подобных матрицах, но не могу подобрать соответствующие примеры

[Brukvalub]

egamathforum в сообщении #1027020 писал(а):

Как восстановить элементы матрицы в заданном базисе, если известны её собственные
числа и собственные вектора? Всегда ли решение будет единственным?

Ответ ясен всякому, кто знает Жордановой нормальной форме матрицы.

[egamathforum]

Т.е. Если собственные векторы не образуют базис, например даны 2 собственных вектора для 3 собственных чисел (случай кратных собственных значений), то однозначно восстановить элементы матрицы не получится. Так ли я все понимаю?

-- 15.06.2015, 16:14 --

Можно попытаться дополнить базис присоединенным вектором и получить ортогональный базис, но такой вектор не подбирается единственным образом

[Brukvalub]

egamathforum в сообщении #1027238 писал(а):

Т.е. Если собственные векторы не образуют базис, например даны 2 собственных вектора для 3 собственных чисел (случай кратных собственных значений), то однозначно восстановить элементы матрицы не получится. Так ли я все понимаю?

Так не бывает!

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1027305 писал(а):

Так не бывает!

Бывает:

egamathforum в сообщении #1027238 писал(а):

для 3 собственных чисел (случай кратных собственных значений)

egamathforum, да, конечно. Только ортогональность тут вовсе не при чём.

[Brukvalub]

Еще раз: каждому собственному значению отвечает, как минимум, один собственный вектор, поэтому " 2 собственных вектора для 3 собственных чисел (случай кратных собственных значений)" НЕ БЫВАЕТ!!!

[ivvan]

А какая кратность имеется в виду?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1027311 писал(а):

каждому собственному значению отвечает, как минимум, один собственный вектор,

Вы не заметили, что в словосочетании "для 3 собственных чисел" слово "различных" употребляется ровно ноль раз.

[Brukvalub]

Первый раз слышу, чтобы, например, про собственное значение алгебраической кратности 3 кто-нибудь говорил, что это ТРИ собственных значения. Всегда считают РАЗЛИЧНЫЕ собственные значения, после чего называют их кратности.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1027319 писал(а):

Всегда считают РАЗЛИЧНЫЕ собственные значения, после чего называют их кратности.

Это синонимы. Если бы Вы были редактором статьи или учебника, то были бы вправе указать на то, что одновременное их употребление есть стилистическая небрежность (и не более того). Однако Вы не он, и тут не там.

-- Пн июн 15, 2015 17:08:54 --

ivvan в сообщении #1027314 писал(а):

А какая кратность имеется в виду?

По контексту -- алгебраическая, естественно.

[egamathforum]

ewert в сообщении #1027309 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1027305 писал(а):

Так не бывает!

Бывает:

egamathforum в сообщении #1027238 писал(а):

для 3 собственных чисел (случай кратных собственных значений)

egamathforum, да, конечно. Только ортогональность тут вовсе не при чём.

вы правы, не ортогональность, а линейная независимость

[ewert]

(Оффтоп)

egamathforum в сообщении #1027395 писал(а):

, а линейно независимость

Вот и опять Вы небрежны: не "линейно", а "линейная".