Некоторые упражнения по теории меры (Tao, "Measure theory")

[kp9r4d]

Прошу проверить некоторые упражнения из книги по теории меры. Просто у меня все доказательства довольно однотипными получаются, хочется проверить, что не "вожу себя за нос". Оригинал задания в этой книге на странице 39.
Задача 1.2.16 (Критерии для конечной меры Лебега)
Доказать эквивалентность следующих утверждений. Пусть $E \subset \mathbb{R}^d$.
1) $E$ - измеримо по Лебегу с конечной мерой.
2) (Внешняя аппроксимация открытыми ограниченными) Для любого $\varepsilon > 0$ существует открытое множество $U$ конечной меры содержащее $E$ такое, что $m^* (U \setminus E) \leqslant \varepsilon$.
3) (Почти открытое ограниченное) $E$ отличается от открытого ограниченного на множество сколь угодно малой внешней меры. (Иначе говоря, для любого $\varepsilon>0$ существует открытое ограниченное множество $U$ такое что $m^*(E \Delta U) \leqslant \varepsilon$.)
4) (Внутренняя аппроксимация компактными) Для любого $\varepsilon>0$ существует компактное множество $F$ содержащееся в $E$ такое, что $m^*(E \setminus F) \leqslant \varepsilon$.
5) (Почти компактное) $E$ отличается от компактного на множество сколь угодно малой внешней меры.
6) (Почти ограниченное измеримое) $E$ отличается от ограниченного измеримого на множество сколь угодно малой внешней меры.
7) (Почти множество конечной меры) $E$ отличается от множества конечной меры на множество сколь угодно малой внешней меры.
8) (Почти элементарное) $E$ отличается от элементарного множества на множество сколь угодно малой внешней меры.
9) (Почти диадически элементарное) для любого $\varepsilon>0$ существует целое $n$ и конечное объединение $F$ замкнутых диадических кубов длины $2^{-n}$ такое, что $m^* (E \Delta F) \leqslant \varepsilon$.
Решение
2 является определением 1, из 2 очевидно следует 3.
Из 3 следует 2 слеудющим образом: возьмём $\varepsilon>0$ и открытое множество $U$ такое, что $m^*(U \Delta E) \leqslant \varepsilon$ теперь по определению внешней меры найдём открытое множество $U_2$ такое, что $U \Delta E \subset U_2$ и $m^*(U_2 \setminus (U \Delta E)) \leqslant \varepsilon_2$, тогда $E \subset U \cup U_2$ и при этом $m^*(U \cup U_2 \setminus E) \leqslant \varepsilon + \varepsilon_2$ для любых $\varepsilon, \varepsilon_2 > 0$. Что и требовалось.
Легко доказать эквивалентность 2 и 4, 3 и 5 соответственно, вложив наше множество $E$ в достаточно большой открытый куб $I$ и переходя к дополнениям относительно этого куба.
Хотелось бы увидеть комментарии пока что на это, если ошибок не обнаружится - перейду к следующим.

[demolishka]

Верно. Только название пункта 2

kp9r4d в сообщении #1026109 писал(а):

Внешняя аппроксимация открытыми ограниченными

не совсем отражает его содержание. Ограниченности открытых множеств там(в определении внешней меры) нету. Но ее можно легко заработать. Это должно стоять за словами

kp9r4d в сообщении #1026109 писал(а):

из 2 очевидно следует 3

-- 12.06.2015, 01:53 --

В книге, кстати, написано правильно:

Цитата:

Outer approximation by open

[grizzly]

kp9r4d в сообщении #1026109 писал(а):

вложив наше множество $E$ в достаточно большой открытый куб

Вот здесь я не понял. Нам ведь никто не обещал, что $E$ как-то ограничено размерами. Почти всё $E$ туда можно вложить, но нужно таскать за собой хоть какой-то кусочек меры снаружи.

[kp9r4d]

demolishka в сообщении #1026229 писал(а):

Ограниченности открытых множеств там(в определении внешней меры) нету. Но ее можно легко заработать.

Точно, моя ошибка. Да, достаточно просто, можно взять покрытие открытым множеством $U$ такое, что $m^*(U \setminus E) > \varepsilon$ а потом можно найти такое ограниченное открытое пожмножество $U_2$ такое, что $U \setminus U_2 < \varepsilon_2$ значит $m^*(U \cap U_2 \Delta E) < \varepsilon + \varepsilon_2$.

Цитата:

Вот здесь я не понял. Нам ведь никто не обещал, что $E$ как-то ограничено размерами. Почти всё $E$ туда можно вложить, но нужно таскать за собой хоть какой-то кусочек меры снаружи.

Да, точно. Исправлю.