Сечение из книжки Рудина

[Ward]

Здравствуйте!

В книге Рудина вводится понятия сечение. Это множество $\alpha \in \mathbb{Q}$, обладающее следующими тремя свойствами:
1) множество $\alpha$ не пусто и $\alpha\neq \mathbb{Q}$.
2) Если $p\in \alpha$ и $q<p$, то $q\in \alpha$
3) Если $p\in \alpha$ тогда $p<r$ для некоторого $r\in \alpha$.

Обозначаем через $\mathbb{R}^{+}=\{\alpha \in \mathbb{R}: \alpha>0^{*}\}$, где $r^{*}=\{q\in\mathbb{Q}: q<r\}$. Там утверждается, что для всякого $\alpha\in\mathbb{R}^{+}$ и $\alpha\neq0^{*}$ существует $\beta\in\mathbb{R}^{+}$ такое, что $\alpha\beta=1^{*}$
Как я понимаю в качестве $\beta$ можно взять множество $\{p\in \mathbb{Q}: p\leqslant \frac{1}{q} \quad \forall q\in\alpha, q>0\}$
Тогда у меня что-то не получается доказать свойство 3) и то, что $\alpha\beta=1^{*}$.
Может кто-нибудь поможет?

[Munin]

Ward в сообщении #1022372 писал(а):

Как я понимаю в качестве $\beta$ можно взять множество $\{p\in \mathbb{Q}: p\leqslant \frac{1}{q} \quad \forall q\in\alpha, q>0\}$

Упражнение: докажите, что это ваше $\beta=0^{*}.$

[Ward]

Munin
То, что я взял значит неверно?

-- 01.06.2015, 18:53 --

Ну если он равен $0^{*}$, то это неверно.
Значит, надо что-то другое брать

[Munin]

Вы не верьте мне на слово, вы докажите и убедитесь. Или опровергните меня, и убедитесь в обратном :-)

[Ward]

Мне кажется, что Вы не правы. Они не равны. Но пока строго доказать не могу(