обратный оператор

[Vikulyarus]

Помогите, пожалуйста, найти обратный оператор к $Af(x)=e^{t/2}f(e^tx)$. Понятно, что нужно решить уравнение $Af=y$ и найти $f(x)$. Но возникает проблема с тем, что в операторе $f$ не от чистого $x$.

[Brukvalub]

Vikulyarus в сообщении #1020390 писал(а):

Понятно, что нужно решить уравнение $Af=y$

Разве?

[Vikulyarus]

Brukvalub
А как тогда поступить?

[Brukvalub]

Подумать, какие математические операции нужно выполнить, чтобы из функции $e^{t/2}f(e^tx)$ получить $f(x)$.

[Vikulyarus]

Brukvalub
Вы не могли бы подсказать где можно почитать про это.

[arseniiv]

Про композицию функций знаете? Представьте $Af$ как композицию $f$ и чего-нибудь.

[Brukvalub]

Vikulyarus в сообщении #1020459 писал(а):

Brukvalub
Вы не могли бы подсказать где можно почитать про это.

Про что почитать? Здесь кроме определения обратного оператора (отображения) ничего знать не нужно.

[Vikulyarus]

$h(x)=(f\circ g)(x)=f(e^tx)$, где $g(x)=e^tx$.

[arseniiv]

А множитель $e^{t/2}$ куда делся? Хотя ладно с ним, с множителем. Вот у вас есть $h$. Получите теперь из неё композицией обратно $f$.

[Vikulyarus]

arseniiv
как раз не понимаю как это сделать, когда функция задана неявно.

[arseniiv]

Как же неявно, когда совсем явно. Посмотрите на выражение для $h$ внимательно, вы смогли композицией домножить аргумент на $e^t$. Теперь уберите его.

[Vikulyarus]

arseniiv
$(h\circ l)(x)=f(e^t\cdot e^{-t}x)=f(x)$

[Brukvalub]

Vikulyarus в сообщении #1020538 писал(а):

arseniiv
$(h\circ l)(x)=f(e^t\cdot e^{-t}x)=f(x)$

Осталось правильно написать обратный оператор.

[Kras]

Судя по всему ТС не хочет решать задачу. Прошло уже достаточно времени, думаю можно рассказать, что я думаю по этому поводу. Пусть меня поправят, если что не так.

Запись $Af(x)=e^{t/2}f(e^tx)$ можно понять как $A\colon f(x)\mapsto e^{t/2}f(e^tx)$. То есть мы имеем такую ситуацию, когда оператор $A$ отображает одни образы в другие образы. Тогда $A^{-1}e^{t/2}f(e^tx)=f(x)$. Обозначим $g(x)=e^{t/2}f(e^tx)$, тогда $A^{-1}g(x)=f(x)$. Выразим одно через другое: $f(e^tx)=\frac{g(x)}{e^{t/2}}$. Вместо $x$ подставим $x/e^{t}$, будет $f(x)=\frac{g(x/e^{t})}{e^{t/2}}$, и наконец: $A^{-1}g(x)=\frac{g(x/e^{t})}{e^{t/2}}$. Получилось.

[arseniiv]

Kras в сообщении #1021855 писал(а):

То есть мы имеем такую ситуацию, когда оператор $A$ отображает одни образы в другие образы.

Эээ… оператор, прежде всего, отображает одни функции в другие функции. Никакого отображения из области значений первых в область значений вторых это не порождает.

А так у вас чрезмерно длинная запись простой вещи.